Страница 144 номер 651, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(2n^3 + 3n^2 + 7n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 = 2 + 3 + 7 = 12\). Число 12 делится на 6, значит, утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть \(2k^3 + 3k^2 + 7k\) кратно 6. Докажем, что тогда \(2(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 7(k + 1)\) тоже кратно 6: \[\begin{aligned} &2(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 7(k + 1) = {} \\ &= 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + 7k + 7 = {} \\ &= 2k^3 + 9k^2 + 19k + 12 = {} \\ &= (2k^3 + 3k^2 + 7k) + 6(k^2 + 2k + 2). \end{aligned}\] Первое слагаемое кратно 6 по предположению, второе — как произведение числа 6 и натурального числа \(k^2 + 2k + 2\). Значит, их сумма кратна 6 и при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Оба условия метода математической индукции выполнены, значит, \(2n^3 + 3n^2 + 7n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(2n^3 + 3n^2 + 7n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(2n^3 + 3n^2 + 7n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 = 2 + 3 + 7 = 12\). Число 12 делится на 6, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть выражение \(2k^3 + 3k^2 + 7k\) кратно 6. Докажем, что тогда при \(n = k + 1\) выражение \(2(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 7(k + 1)\) тоже кратно 6. Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые и выделим выражение из предположения: \[\begin{aligned} &2(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 7(k + 1) = {} \\ &= 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + 7k + 7 = {} \\ &= 2k^3 + 9k^2 + 19k + 12 = {} \\ &= (2k^3 + 3k^2 + 7k) + 6(k^2 + 2k + 2). \end{aligned}\] Первое слагаемое кратно 6 по предположению, второе — как произведение числа 6 и натурального числа \(k^2 + 2k + 2\). Следовательно, их сумма кратна 6, то есть выражение \(2(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 7(k + 1)\) кратно 6, и при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(2n^3 + 3n^2 + 7n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(2n^3 + 3n^2 + 7n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
