Страница 144 номер 650, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 0\) и \(a_{n+1} = a_n + n^3\). Докажите, что формула общего члена этой последовательности имеет вид \(a_n = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) по условию \(a_1 = 0\), а формула даёт \(\frac{(1 - 1)^2 \cdot 1^2}{4} = \frac{0}{4} = 0\), то есть утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть \(a_k = \frac{(k - 1)^2 k^2}{4}\). Докажем, что тогда \(a_{k+1} = \frac{(k + 1 - 1)^2 (k + 1)^2}{4} = \frac{k^2 (k + 1)^2}{4}\). По рекуррентной формуле \(a_{k+1} = a_k + k^3\); подставим \(a_k\) из предположения: \[\begin{aligned} &a_{k+1} = a_k + k^3 = \frac{(k - 1)^2 k^2}{4} + k^3 = \frac{(k - 1)^2 k^2 + 4k^3}{4} = {} \\ &= \frac{k^2 \left((k - 1)^2 + 4k\right)}{4} = \frac{k^2 (k^2 + 2k + 1)}{4} = \frac{k^2 (k + 1)^2}{4}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Оба условия метода математической индукции выполнены, значит, \(a_n = \frac{(n - 1)^2 n^2}{4}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: формула \(a_n = \frac{(n - 1)^2 n^2}{4}\) доказана.
Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 0\) и \(a_{n+1} = a_n + n^3\). Докажите, что формула общего члена этой последовательности имеет вид \(a_n = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) по условию \(a_1 = 0\), а формула даёт то же значение: \(\frac{(1 - 1)^2 \cdot 1^2}{4} = \frac{0}{4} = 0\). Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть \(a_k = \frac{(k - 1)^2 k^2}{4}\). Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\), то есть \(a_{k+1} = \frac{(k + 1 - 1)^2 (k + 1)^2}{4} = \frac{k^2 (k + 1)^2}{4}\). По рекуррентной формуле при \(n = k\) имеем \(a_{k+1} = a_k + k^3\). Подставим вместо \(a_k\) выражение из предположения: \[\begin{aligned} &a_{k+1} = a_k + k^3 = \frac{(k - 1)^2 k^2}{4} + k^3 = \frac{(k - 1)^2 k^2 + 4k^3}{4} = {} \\ &= \frac{k^2 \left((k - 1)^2 + 4k\right)}{4} = \frac{k^2 (k^2 + 2k + 1)}{4} = \frac{k^2 (k + 1)^2}{4}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(a_n = \frac{(n - 1)^2 n^2}{4}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: формула \(a_n = \frac{(n - 1)^2 n^2}{4}\) доказана.
