Страница 144 номер 648, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 0{,}2 \cdot 4^{n-1}\). Найдите: а) отношение \(\frac{b_7}{b_4}\); б) значение выражения \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_7}\).
\[\begin{aligned} b_1 &= 0{,}2 \cdot 4^{1-1} = 0{,}2; \\ b_2 &= 0{,}2 \cdot 4^{2-1} = 0{,}8. \end{aligned}\] \(q = \frac{b_2}{b_1} = 0{,}8 : 0{,}2 = 4\) — знаменатель прогрессии.
а) \(b_7 = b_1 \cdot q^6\), \(b_4 = b_1 \cdot q^3\), поэтому \[\frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^3} = q^3 = 4^3 = 64.\]
б) \(b_1 \neq 0\) и \(q \neq 0\), поэтому дробь можно сократить на \(b_1 \cdot q\): \[\begin{aligned} &\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_7} = \frac{b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^6} = \frac{b_1 \cdot q(1 + q^3)}{b_1 \cdot q^2(1 + q^4)} = {} \\ &= \frac{1 + q^3}{q(1 + q^4)}. \end{aligned}\] При \(q = 4\): \[\frac{1 + q^3}{q(1 + q^4)} = \frac{1 + 4^3}{4 \cdot (1 + 4^4)} = \frac{1 + 64}{4 \cdot (1 + 256)} = \frac{65}{1028}.\] Дробь \(\frac{65}{1028}\) несократима: \(65 = 5 \cdot 13\), а число 1028 не делится ни на 5, ни на 13 (\(1028 = 13 \cdot 79 + 1\)).
Ответ: а) \(\frac{b_7}{b_4} = 64\); б) \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_7} = \frac{65}{1028}\).
Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 0{,}2 \cdot 4^{n-1}\). Найдите: а) отношение \(\frac{b_7}{b_4}\); б) значение выражения \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_7}\).
Найдём \(b_1\) и \(b_2\) из формулы \(n\)-го члена: \[\begin{aligned} b_1 &= 0{,}2 \cdot 4^{1-1} = 0{,}2; \\ b_2 &= 0{,}2 \cdot 4^{2-1} = 0{,}8. \end{aligned}\] Знаменатель \(q\) геометрической прогрессии равен отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему, поэтому \(q = \frac{b_2}{b_1} = 0{,}8 : 0{,}2 = 4\).
а) В соответствии с формулой \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(b_7 = b_1 \cdot q^6\), \(b_4 = b_1 \cdot q^3\). Тогда \[\frac{b_7}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^3} = q^3 = 4^3 = 64.\]
б) Воспользуемся формулой \(n\)-го члена геометрической прогрессии и сократим получившуюся дробь на \(b_1 \cdot q\) — это число не равно нулю, так как \(b_1 \neq 0\) и \(q \neq 0\): \[\begin{aligned} &\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_7} = \frac{b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^6} = \frac{b_1 \cdot q(1 + q^3)}{b_1 \cdot q^2(1 + q^4)} = {} \\ &= \frac{1 + q^3}{q(1 + q^4)}. \end{aligned}\] Поскольку \(q = 4\), получаем: \[\frac{1 + q^3}{q(1 + q^4)} = \frac{1 + 4^3}{4 \cdot (1 + 4^4)} = \frac{1 + 64}{4 \cdot (1 + 256)} = \frac{65}{1028}.\] Дробь \(\frac{65}{1028}\) несократима: \(65 = 5 \cdot 13\), а число 1028 не делится ни на 5, ни на 13 (\(1028 = 13 \cdot 79 + 1\)).
Ответ: а) \(\frac{b_7}{b_4} = 64\); б) \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_7} = \frac{65}{1028}\).
