Страница 144 номер 647, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В арифметической прогрессии \((a_n)\) известно, что \(a_{12} = 28\), \(a_{23} = 50\), а сумма первых \(n\) членов равна 546. Найдите \(n\).
По формуле \(a_n = a_k + (n - k)d\) получаем \(a_{23} = a_{12} + 11d\), откуда
\[d = \frac{a_{23} - a_{12}}{11} = \frac{50 - 28}{11} = \frac{22}{11} = 2.\]
\(a_{12} = a_1 + 11d\);
\(28 = a_1 + 22\);
\(a_1 = 6\).
По формуле \(S_n = \frac{2a_1 + (n - 1) \cdot d}{2} \cdot n\): \[S_n = \frac{2 \cdot 6 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = (6 + n - 1) \cdot n = (n + 5)n.\] По условию \(S_n = 546\): \[\begin{aligned} (n + 5)n &= 546; \\ n^2 + 5n - 546 &= 0; \\ D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-546) = 25 + 2184 = 2209; \\ n_1 &= \frac{-5 - \sqrt{2209}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 47}{2} = -26; \\ n_2 &= \frac{-5 + \sqrt{2209}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 47}{2} = 21. \end{aligned}\] Число членов \(n\) — натуральное число, поэтому \(n = -26\) не подходит. Значит, \(n = 21\).
Проверка: \(a_{21} = 6 + 20 \cdot 2 = 46\);
\(S_{21} = \frac{6 + 46}{2} \cdot 21 = 26 \cdot 21 = 546\).
Ответ: \(n = 21\).
В арифметической прогрессии \((a_n)\) известно, что \(a_{12} = 28\), \(a_{23} = 50\), а сумма первых \(n\) членов равна 546. Найдите \(n\).
По формуле \(a_n = a_k + (n - k)d\) получаем \(a_{23} = a_{12} + 11d\), откуда
\[d = \frac{a_{23} - a_{12}}{11} = \frac{50 - 28}{11} = \frac{22}{11} = 2.\]
Подставим найденное значение \(d\) в формулу \(n\)-го члена, выражающую \(a_{12}\): \(a_{12} = a_1 + 11d\);
\(28 = a_1 + 22\);
\(a_1 = 6\).
Выразим сумму первых \(n\) членов прогрессии по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + (n - 1) \cdot d}{2} \cdot n\): \[S_n = \frac{2 \cdot 6 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = (6 + n - 1) \cdot n = (n + 5)n.\] По условию \(S_n = 546\). Раскроем скобки и перенесём 546 в левую часть: \[\begin{aligned} (n + 5)n &= 546; \\ n^2 + 5n - 546 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-546) = 25 + 2184 = 2209; \\ n_1 &= \frac{-5 - \sqrt{2209}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 47}{2} = -26; \\ n_2 &= \frac{-5 + \sqrt{2209}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 47}{2} = 21. \end{aligned}\] Число членов \(n\) — натуральное число, поэтому \(n = -26\) не подходит. Значит, \(n = 21\).
Проверка: \(a_{21} = 6 + 20 \cdot 2 = 46\);
\(S_{21} = \frac{6 + 46}{2} \cdot 21 = 26 \cdot 21 = 546\).
Ответ: \(n = 21\).
