Страница 144 номер 646, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если сумма первых десяти её членов равна 640, а сумма первых тридцати её членов равна \(-480\).
По формуле \(S_n = \frac{2a_1 + (n - 1) \cdot d}{2} \cdot n\):
\[\begin{aligned} S_{10} &= \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d); \\ S_{30} &= \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 15(2a_1 + 29d). \end{aligned}\]
По условию \(S_{10} = 640\), \(S_{30} = -480\):
\[\begin{cases} 5(2a_1 + 9d) = 640, & | : 5 \\ 15(2a_1 + 29d) = -480; & | : 15 \end{cases}\]
\[\begin{cases} 2a_1 + 9d = 128, \\ 2a_1 + 29d = -32. \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(20d = -160\), откуда \(d = -8\). Из первого уравнения: \(2a_1 - 72 = 128\);
\(2a_1 = 200\);
\(a_1 = 100\).
\[\begin{aligned} &S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = 10 \cdot (2 \cdot 100 + 19 \cdot (-8)) = {} \\ &= 10 \cdot (200 - 152) = 10 \cdot 48 = 480. \end{aligned}\]
Проверка: \(S_{10} = 5 \cdot (2 \cdot 100 + 9 \cdot (-8)) = 5 \cdot 128 = 640\);
\(S_{30} = 15 \cdot (2 \cdot 100 + 29 \cdot (-8)) = 15 \cdot (-32) = -480\).
Ответ: \(S_{20} = 480\).
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если сумма первых десяти её членов равна 640, а сумма первых тридцати её членов равна \(-480\).
Пусть \(a_1\) — первый член прогрессии, \(d\) — её разность. Суммы первых десяти и первых тридцати членов выразим по формуле \(S_n = \frac{2a_1 + (n - 1) \cdot d}{2} \cdot n\):
\[\begin{aligned} S_{10} &= \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d); \\ S_{30} &= \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 15(2a_1 + 29d). \end{aligned}\]
По условию \(S_{10} = 640\), \(S_{30} = -480\). Получаем систему уравнений; разделим обе части первого уравнения на 5, а второго — на 15:
\[\begin{cases} 5(2a_1 + 9d) = 640, & | : 5 \\ 15(2a_1 + 29d) = -480; & | : 15 \end{cases}\]
Получим систему:
\[\begin{cases} 2a_1 + 9d = 128, \\ 2a_1 + 29d = -32. \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(20d = -160\), откуда \(d = -8\). Подставим \(d = -8\) в первое уравнение: \(2a_1 - 72 = 128\);
\(2a_1 = 200\);
\(a_1 = 100\).
Сумма первых двадцати членов: \[\begin{aligned} &S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = 10 \cdot (2 \cdot 100 + 19 \cdot (-8)) = {} \\ &= 10 \cdot (200 - 152) = 10 \cdot 48 = 480. \end{aligned}\]
Проверка: \(S_{10} = 5 \cdot (2 \cdot 100 + 9 \cdot (-8)) = 5 \cdot 128 = 640\);
\(S_{30} = 15 \cdot (2 \cdot 100 + 29 \cdot (-8)) = 15 \cdot (-32) = -480\).
Ответ: \(S_{20} = 480\).
