Страница 143 номер 641, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \(a_n = (n - 44)^2 + 0{,}84\) является ограниченной снизу, и найдите её наименьший член.
Пусть \(f(x) = (x - 44)^2 + 0{,}84\), тогда \(a_n = f(n)\). Так как \((x - 44)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), то \(f(x) \geqslant 0{,}84\), причём наименьшее значение \(0{,}84\) функция принимает при \(x_0 = 44\). Значит, \(a_n \geqslant 0{,}84\) при любом натуральном \(n\) и последовательность ограничена снизу.
Число 44 натуральное, поэтому наименьший член последовательности — \(a_{44}\): \[a_{44} = (44 - 44)^2 + 0{,}84 = 0 + 0{,}84 = 0{,}84.\]
Ответ: последовательность ограничена снизу: \(a_n \geqslant 0{,}84\); наименьший член \(a_{44} = 0{,}84\).
Докажите, что последовательность \(a_n = (n - 44)^2 + 0{,}84\) является ограниченной снизу, и найдите её наименьший член.
Формула \(n\)-го члена последовательности напоминает квадратичную функцию. Рассмотрим функцию \(f(x) = (x - 44)^2 + 0{,}84\); тогда \(a_n = f(n)\) при любом натуральном \(n\). Так как \((x - 44)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), то \(f(x) \geqslant 0{,}84\), причём значение \(0{,}84\) функция принимает при \(x_0 = 44\) — это её наименьшее значение. Следовательно, любой член последовательности больше или равен \(0{,}84\), то есть \(a_n \geqslant 0{,}84\) при любом натуральном \(n\), и последовательность ограничена снизу.
Поскольку число 44 натуральное, наименьшим членом последовательности \((a_n)\) является \(a_{44}\): \[a_{44} = (44 - 44)^2 + 0{,}84 = 0 + 0{,}84 = 0{,}84.\]
Ответ: последовательность ограничена снизу: \(a_n \geqslant 0{,}84\); наименьший член \(a_{44} = 0{,}84\).
