Страница 143 номер 640, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Глава 5. Последовательности. §28. Прогрессии в задачах экономического содержания. Страница 143. Номер 640

Решение:

а) \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}; \\ a_2 &= \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4}; \\ a_3 &= \frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}; \\ a_4 &= \frac{4 + 3}{4 + 2} = \frac{7}{6}. \end{aligned}\]

б) \[\frac{n + 3}{n + 2} = \frac{n + 2 + 1}{n + 2} = \frac{n + 2}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} = 1 + \frac{1}{n + 2}.\] При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 2\) положителен, поэтому \(\frac{1}{n + 2} > 0\) и \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\), то есть любой член последовательности больше 1.

в) \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2}\), и при любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 2 \geqslant 1 + 2 = 3\), причём \(n + 2 = 3\) при \(n = 1\). Значит, \(\frac{1}{n + 2} \leqslant \frac{1}{3}\) и \(a_n \leqslant 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\), причём значение \(\frac{4}{3}\) имеет первый член. Следовательно, наибольшим членом последовательности является \(a_1 = \frac{4}{3}\).

Ответ: а) \(\frac{4}{3}\); \(\frac{5}{4}\); \(\frac{6}{5}\); \(\frac{7}{6}\); б) доказано: \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\) при любом натуральном \(n\); в) \(a_1 = \frac{4}{3}\).

Решение:

а) Вычислим первые четыре члена последовательности, используя формулу её \(n\)-го члена: \[\begin{aligned} a_1 &= \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}; \\ a_2 &= \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4}; \\ a_3 &= \frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}; \\ a_4 &= \frac{4 + 3}{4 + 2} = \frac{7}{6}. \end{aligned}\]

б) По условию \(a_n = \frac{n + 3}{n + 2}\). Выделим целую часть этой дроби: \[\frac{n + 3}{n + 2} = \frac{n + 2 + 1}{n + 2} = \frac{n + 2}{n + 2} + \frac{1}{n + 2} = 1 + \frac{1}{n + 2}.\] Значит, \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2}\). При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 2\) положителен, поэтому \(\frac{1}{n + 2} > 0\) и \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2} > 1\), то есть любой член последовательности больше 1.

в) Воспользуемся тем, что \(a_n = 1 + \frac{1}{n + 2}\). Наибольшим членом последовательности будет тот, для которого значение дроби \(\frac{1}{n + 2}\) наибольшее из возможных, то есть тот, для которого её положительный знаменатель \(n + 2\) наименьший. При любом натуральном \(n\) знаменатель \(n + 2 \geqslant 1 + 2 = 3\), причём \(n + 2 = 3\) при \(n = 1\). Значит, \(\frac{1}{n + 2} \leqslant \frac{1}{3}\) и \(a_n \leqslant 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\) при любом натуральном \(n\), причём значение \(\frac{4}{3}\) имеет первый член. Следовательно, наибольшим членом последовательности является \(a_1 = \frac{4}{3}\).