Темы исследовательских работ на странице 143, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Простые и сложные проценты.
План доклада:
1. Процент и изменение величины на несколько процентов.
2. Простые проценты и арифметическая прогрессия.
3. Сложные проценты и геометрическая прогрессия.
4. Кредит с дифференцированными платежами.
5. Аннуитетные платежи и сравнение схем.
Презентация к докладу: «Простые и сложные проценты», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Процент и изменение величины на несколько процентов. Увеличенная на \(k\) % величина \(a\) равна \(a\left(1 + \frac{k}{100}\right)\), уменьшенная — \(a\left(1 - \frac{k}{100}\right)\). Поэтому повышение цены на 10 % и понижение на 10 % дают \(0{,}99a\): во второй раз 10 % берутся от большей цены.
2. Простые проценты и арифметическая прогрессия. Проценты начисляются только на первоначальную сумму \(S_0\): вклад каждый год растёт на одну и ту же сумму, и \(S_n = S_0\left(1 + \frac{k}{100} \cdot n\right)\) — арифметическая прогрессия.
3. Сложные проценты и геометрическая прогрессия. Проценты начисляются на накопленную сумму, и \(S_n = S_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\) — геометрическая прогрессия. За 10 лет \(100\,000\) рублей под 10 % вырастут при простых процентах до \(200\,000\), при сложных — примерно до \(259\,374\) рублей. Сложные проценты обгоняют простые всё сильнее: при простых вклад каждый год растёт на 10 % от первоначальной суммы, при сложных — на 10 % от накопленной, которая со второго года больше первоначальной и растёт.
4. Кредит с дифференцированными платежами. Каждый год заёмщик платит начисленные проценты и \(\frac{1}{n}\) часть исходного долга, поэтому платежи убывают по арифметической прогрессии: \(300\,000\) рублей на 3 года под 10 % гасят платежами \(130\,000\), \(120\,000\) и \(110\,000\) рублей.
5. Аннуитетные платежи и сравнение схем. Равный платёж находят через сумму геометрической прогрессии: \(x = \frac{q^n(q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{k}{100}\). Кредит \(210\,000\) рублей на 2 года под 10 % обойдётся в \(242\,000\) рублей, при дифференцированных платежах — в \(241\,500\). Так бывает при сроке больше года и положительной ставке: гасящая долг часть равного платежа растёт (проценты убывают с долгом), а в сумме эти части равны \(S_0\), поэтому к концу каждого года, кроме последнего, погашено меньше, чем по \(\frac{S_0}{n}\) в год, проценты начисляются на больший остаток, и сумма платежей — \(S_0\) плюс все проценты — больше.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что при простых процентах вклад растёт по арифметической прогрессии — каждый год на одну и ту же сумму: \(S_n = S_0\left(1 + \frac{k}{100} \cdot n\right)\), а при сложных — по геометрической прогрессии, каждый год в одно и то же число раз: \(S_n = S_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\); при одной и той же положительной ставке на срок больше года сложные проценты выгоднее вкладчику, так как со второго года они начисляются на большую сумму. При дифференцированных платежах долг уменьшается равномерно, а платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с суммой \(S_0\left(1 + \frac{k(n + 1)}{200}\right)\); при аннуитетных платежи равны, и их размер находят с помощью суммы геометрической прогрессии. При одинаковых сумме, положительной ставке и сроке больше года общая сумма аннуитетных платежей больше, чем дифференцированных, зато первый аннуитетный платёж меньше и все платежи одинаковы.
Простые и сложные проценты.
План доклада:
1. Процент и изменение величины на несколько процентов.
2. Простые проценты и арифметическая прогрессия.
3. Сложные проценты и геометрическая прогрессия.
4. Кредит с дифференцированными платежами.
5. Аннуитетные платежи и сравнение схем.
Презентация к докладу: «Простые и сложные проценты», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Процент и изменение величины на несколько процентов. Процент — одна сотая часть числа: 1 % от 3500 рублей — это \(3500 \cdot \frac{1}{100} = 35\) рублей. За 100 % принимают ту величину, с которой сравнивают. Если величина \(a\) увеличилась на \(k\) %, она стала равна \(a\left(1 + \frac{k}{100}\right)\), если уменьшилась на \(k\) % — \(a\left(1 - \frac{k}{100}\right)\). Поэтому повышение цены на 10 % и последующее понижение на 10 % не возвращают её к исходному значению: \(a \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99a\), то есть цена уменьшилась на 1 %, ведь во второй раз 10 % берутся от новой, большей цены. По той же причине два повышения подряд на 20 % дают рост не на 40 %, а на 44 %: \(1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44\).
2. Простые проценты и арифметическая прогрессия. При простых процентах банк в конце каждого года начисляет \(k\) % только от первоначальной суммы вклада \(S_0\). Значит, вклад каждый год увеличивается на одну и ту же сумму \(d = \frac{k}{100} \cdot S_0\), и размеры вклада по годам образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d\): \(S_n = S_0 + nd = S_0\left(1 + \frac{k}{100} \cdot n\right)\). Например, \(80\,000\) рублей под 6 % годовых через 5 лет превратятся в \(80\,000 \cdot (1 + 0{,}06 \cdot 5) = 80\,000 \cdot 1{,}3 = 104\,000\) рублей. В обратных задачах помогают свойства арифметической прогрессии: по характеристическому свойству \(S_n = \frac{S_{n-1} + S_{n+1}}{2}\), поэтому, зная размеры вклада через 3 и через 5 лет, легко найти его размер через 4 года. Если ставка меняется, проценты по-прежнему начисляются только на первоначальную сумму: за каждый год к вкладу добавляется ставка этого года от \(S_0\).
3. Сложные проценты и геометрическая прогрессия. При сложных процентах проценты в конце каждого года начисляются на всю сумму, накопленную к этому моменту, вместе с уже начисленными процентами. За год сумма умножается на \(1 + \frac{r}{100}\): \(S_{n+1} = S_n\left(1 + \frac{r}{100}\right)\). Значит, суммы на вкладе образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(1 + \frac{r}{100}\), и \(S_n = S_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\) — это формула сложных процентов. Сравним два вклада по \(100\,000\) рублей под 10 % годовых на 10 лет. При простых процентах через 10 лет на счёте будет \(100\,000 \cdot (1 + 0{,}1 \cdot 10) = 200\,000\) рублей, а при сложных — \(100\,000 \cdot 1{,}1^{10} \approx 259\,374\) рубля: \(1{,}1^5 = 1{,}61051\) и \(1{,}1^{10} = 1{,}61051^2 \approx 2{,}59374\). Через год оба вклада одинаковы, а дальше сложные проценты обгоняют простые всё сильнее: при простых процентах вклад каждый год растёт на 10 % от первоначальной суммы, а при сложных — на 10 % от накопленной, которая больше первоначальной и с каждым годом растёт. Неизвестный срок находят перебором степеней: вклад под 10 % годовых удвоится, когда \(1{,}1^n \geqslant 2\); степени числа \(1{,}1\) с ростом показателя возрастают, и так как \(1{,}1^7 = 1{,}9487171 < 2\), а \(1{,}1^8 = 2{,}14358881 > 2\), для этого нужно 8 лет.
4. Кредит с дифференцированными платежами. Кредит — заём денег у банка с условием постепенного возврата; в течение года долг увеличивается на \(k\) % от текущего долга. При дифференцированной схеме кредит \(S_0\) рублей на \(n\) лет гасится так: в конце каждого года заёмщик выплачивает начисленные за год проценты и \(\frac{1}{n}\) часть исходного долга. Поэтому долг на начало года каждый год уменьшается на \(\frac{S_0}{n}\), проценты уменьшаются вместе с долгом, а платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию. Например, при кредите \(300\,000\) рублей на 3 года под 10 % годовых первый платёж равен \(30\,000 + 100\,000 = 130\,000\) рублей, второй — \(20\,000 + 100\,000 = 120\,000\) рублей, третий — \(10\,000 + 100\,000 = 110\,000\) рублей, а всего заёмщик заплатит \(360\,000\) рублей. Сумма прогрессии платежей даёт общую формулу \(S = S_0\left(1 + \frac{k(n + 1)}{200}\right)\); в примере \(300\,000 \cdot \left(1 + \frac{10 \cdot 4}{200}\right) = 300\,000 \cdot 1{,}2 = 360\,000\) рублей.
5. Аннуитетные платежи и сравнение схем. При аннуитетной схеме долг гасится равными ежегодными платежами \(x\). За год долг увеличивается в \(q = 1 + \frac{k}{100}\) раз, затем уменьшается на \(x\), и после последнего платежа долг равен нулю: \(q^nS_0 - x(1 + q + \ldots + q^{n-1}) = 0\). Сумма в скобках — сумма \(n\) членов геометрической прогрессии со знаменателем \(q \neq 1\), она равна \(\frac{q^n - 1}{q - 1}\), откуда \(x = \frac{q^n(q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\). Сравним схемы для кредита \(210\,000\) рублей на 2 года под 10 % годовых. Аннуитетный платёж \(x = \frac{1{,}21 \cdot 0{,}1}{0{,}21} \cdot 210\,000 = 121\,000\) рублей: после первого платежа долг \(210\,000 \cdot 1{,}1 - 121\,000 = 110\,000\) рублей, после второго — \(110\,000 \cdot 1{,}1 - 121\,000 = 0\). Всего заёмщик заплатит \(242\,000\) рублей. При дифференцированной схеме платежи равны \(105\,000 + 21\,000 = 126\,000\) и \(105\,000 + 10\,500 = 115\,500\) рублей, всего \(241\,500\) рублей, то есть меньше. Так бывает при любом сроке больше одного года и положительной ставке: в равном аннуитетном платеже часть, идущая на погашение долга, с каждым годом растёт, потому что проценты уменьшаются вместе с долгом, а в сумме эти части равны \(S_0\). Поэтому к концу каждого года, кроме последнего, погашено меньше, чем при равномерном погашении по \(\frac{S_0}{n}\) в год, проценты начисляются на больший остаток, и общая сумма платежей — \(S_0\) плюс все проценты — больше. Зато аннуитетные платежи одинаковы, а первый из них меньше первого дифференцированного платежа.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что при простых процентах вклад растёт по арифметической прогрессии — каждый год на одну и ту же сумму: \(S_n = S_0\left(1 + \frac{k}{100} \cdot n\right)\), а при сложных — по геометрической прогрессии, каждый год в одно и то же число раз: \(S_n = S_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\); при одной и той же положительной ставке на срок больше года сложные проценты выгоднее вкладчику, так как со второго года они начисляются на большую сумму. При дифференцированных платежах долг уменьшается равномерно, а платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с суммой \(S_0\left(1 + \frac{k(n + 1)}{200}\right)\); при аннуитетных платежи равны, и их размер находят с помощью суммы геометрической прогрессии. При одинаковых сумме, положительной ставке и сроке больше года общая сумма аннуитетных платежей больше, чем дифференцированных, зато первый аннуитетный платёж меньше и все платежи одинаковы.
