Страница 143 номер 634, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(4^n + 15n - 1\) кратно 9 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\): \(4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18\) — делится на 9, утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть \(4^k + 15k - 1\) делится на 9. При \(n = k + 1\) выделим выражение из предположения: \[\begin{aligned} &4^{k+1} + 15(k + 1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14 = {} \\ &= 4(4^k + 15k - 1) - 60k + 4 + 15k + 14 = {} \\ &= 4(4^k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4(4^k + 15k - 1) - 9(5k - 2). \end{aligned}\] \(4(4^k + 15k - 1)\) делится на 9 по предположению, \(9(5k - 2)\) — как произведение числа 9 и целого числа \(5k - 2\); их разность делится на 9, поэтому при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Оба условия метода математической индукции выполнены, значит, \(4^n + 15n - 1\) кратно 9 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(4^n + 15n - 1\) кратно 9 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(4^n + 15n - 1\) кратно 9 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18\). Число 18 делится на 9, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), то есть выражение \(4^k + 15k - 1\) делится на 9. Докажем, что тогда при \(n = k + 1\) выражение \(4^{k+1} + 15(k + 1) - 1\) тоже делится на 9. Выделим в нём выражение из предположения: \[\begin{aligned} &4^{k+1} + 15(k + 1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14 = {} \\ &= 4(4^k + 15k - 1) - 60k + 4 + 15k + 14 = {} \\ &= 4(4^k + 15k - 1) - 45k + 18 = 4(4^k + 15k - 1) - 9(5k - 2). \end{aligned}\] Уменьшаемое \(4(4^k + 15k - 1)\) делится на 9, так как по предположению на 9 делится множитель \(4^k + 15k - 1\); вычитаемое \(9(5k - 2)\) делится на 9 как произведение числа 9 и целого числа \(5k - 2\). Разность двух чисел, делящихся на 9, делится на 9, поэтому выражение \(4^{k+1} + 15(k + 1) - 1\) делится на 9, и при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(4^n + 15n - 1\) кратно 9 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(4^n + 15n - 1\) кратно 9 при любом натуральном \(n\).
