Страница 143 номер 633, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Делится ли на 2022 сумма чисел \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2022\)?
Слагаемые суммы — первые 2022 члена последовательности \(a_n = n\);
\(a_{n+1} = n + 1 = a_n + 1\) — арифметическая прогрессия, \(a_1 = 1\), \(d = 1\), \(a_{2022} = 2022\).
\[S_{2022} = \frac{a_1 + a_{2022}}{2} \cdot 2022 = \frac{1 + 2022}{2} \cdot 2022 = 2023 \cdot 1011.\]
Числа 2023 и 1011 нечётные, поэтому их произведение — нечётное число, а нечётное число не делится на чётное число 2022: иначе оно делилось бы и на 2.
\(2023 \cdot 1011 = 2022 \cdot 1011 + 1011\) — остаток от деления на 2022 равен 1011.
Ответ: нет, не делится: \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2022 = 2023 \cdot 1011\) — нечётное число.
Делится ли на 2022 сумма чисел \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2022\)?
Слагаемые суммы \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2022\) — первые 2022 члена последовательности \((a_n)\), в которой \(a_n = n\). Каждый её член, начиная со второго, на 1 больше предыдущего: \(a_{n+1} = n + 1 = a_n + 1\) при любом \(n\). Следовательно, \((a_n)\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и разностью \(d = 1\), причём \(a_{2022} = 2022\). По формуле суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии \[S_{2022} = \frac{a_1 + a_{2022}}{2} \cdot 2022 = \frac{1 + 2022}{2} \cdot 2022 = 2023 \cdot 1011.\] Числа 2023 и 1011 нечётные, поэтому их произведение — нечётное число. Нечётное число не делится на чётное число 2022: иначе оно делилось бы и на 2. Значит, сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2022\) на 2022 не делится; при делении на 2022 она даёт остаток 1011, так как \(2023 \cdot 1011 = 2022 \cdot 1011 + 1011\).
Ответ: нет, не делится: \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2022 = 2023 \cdot 1011\) — нечётное число.
