Страница 143 номер 632, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите третий и восьмой члены геометрической прогрессии \((b_n)\), если их сумма равна 10, а произведение второго и девятого членов этой прогрессии равно 24.
\(3 + 8 = 2 + 9\), поэтому \(b_3 \cdot b_8 = b_2 \cdot b_9 = 24\).
Сумма чисел \(b_3\) и \(b_8\) равна 10, а произведение равно 24, поэтому они — корни уравнения \(t^2 - 10t + 24 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4; \\ t_1 &= \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4; \\ t_2 &= \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6. \end{aligned}\] Либо \(b_3 = 4\) и \(b_8 = 6\), либо \(b_3 = 6\) и \(b_8 = 4\); в обоих случаях условия выполняются: \(b_3 + b_8 = 4 + 6 = 10\) и \(b_2 \cdot b_9 = b_3 \cdot b_8 = 4 \cdot 6 = 24\).
Ответ: \(b_3 = 4\), \(b_8 = 6\) или \(b_3 = 6\), \(b_8 = 4\).
Найдите третий и восьмой члены геометрической прогрессии \((b_n)\), если их сумма равна 10, а произведение второго и девятого членов этой прогрессии равно 24.
Если \((b_n)\) — геометрическая прогрессия и \(k + l = m + p\), то \(b_k \cdot b_l = b_m \cdot b_p\). Так как \(3 + 8 = 2 + 9\), то \(b_3 \cdot b_8 = b_2 \cdot b_9 = 24\).
Значит, сумма чисел \(b_3\) и \(b_8\) равна 10, а их произведение равно 24. По теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения \(t^2 - 10t + 24 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4; \\ t_1 &= \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4; \\ t_2 &= \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6. \end{aligned}\] Следовательно, либо \(b_3 = 4\) и \(b_8 = 6\), либо \(b_3 = 6\) и \(b_8 = 4\). В обоих случаях условия задачи выполняются: \(b_3 + b_8 = 4 + 6 = 10\) и \(b_2 \cdot b_9 = b_3 \cdot b_8 = 4 \cdot 6 = 24\).
Ответ: \(b_3 = 4\), \(b_8 = 6\) или \(b_3 = 6\), \(b_8 = 4\).
