Страница 143 номер 631, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{2}\), \(S_5 = 15{,}5\). Найдите \(b_1\).
\(q = \frac{1}{2} \neq 1\) — сумму \(S_5\) можно выразить через \(b_1\) по формуле суммы геометрической прогрессии; \(q^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\): \[\begin{aligned} &S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{b_1\left(1 - \frac{1}{32}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = {} \\ &= \frac{31}{32}b_1 : \frac{1}{2} = \frac{31}{32}b_1 \cdot 2 = \frac{31}{16}b_1. \end{aligned}\] По условию \(S_5 = 15{,}5\): \[\begin{aligned} \frac{31}{16}b_1 &= 15{,}5; \qquad | \cdot \frac{16}{31} \\ b_1 &= 15{,}5 \cdot \frac{16}{31} = \frac{31}{2} \cdot \frac{16}{31} = 8. \end{aligned}\]
Проверка: \(8 + 4 + 2 + 1 + 0{,}5 = 15{,}5\) — сумма первых пяти членов при \(b_1 = 8\) и \(q = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(b_1 = 8\).
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{2}\), \(S_5 = 15{,}5\). Найдите \(b_1\).
Знаменатель \(q = \frac{1}{2}\) отличен от 1, поэтому сумму \(S_5\) можно выразить через \(b_1\) по формуле суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии. Так как \(q^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\), то, заменив деление на \(\frac{1}{2}\) умножением на 2, получим: \[\begin{aligned} &S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{b_1\left(1 - \frac{1}{32}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = {} \\ &= \frac{31}{32}b_1 : \frac{1}{2} = \frac{31}{32}b_1 \cdot 2 = \frac{31}{16}b_1. \end{aligned}\] По условию \(S_5 = 15{,}5\). Получаем уравнение; умножим обе его части на \(\frac{16}{31}\): \[\begin{aligned} \frac{31}{16}b_1 &= 15{,}5; \qquad | \cdot \frac{16}{31} \\ b_1 &= 15{,}5 \cdot \frac{16}{31} = \frac{31}{2} \cdot \frac{16}{31} = 8. \end{aligned}\]
Проверка: при \(b_1 = 8\) и \(q = \frac{1}{2}\) первые пять членов прогрессии — \(8\); \(4\); \(2\); \(1\); \(0{,}5\), их сумма \(8 + 4 + 2 + 1 + 0{,}5 = 15{,}5\).
Ответ: \(b_1 = 8\).
