Страница 143 номер 630, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 0{,}6 \cdot 3^{n-1}\). Найдите: а) отношение \(\frac{b_6}{b_2}\); б) значение выражения \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6}\).
\(b_1 = 0{,}6 \cdot 3^{1-1} = 0{,}6\), \(b_2 = 0{,}6 \cdot 3^{2-1} = 1{,}8\).
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1{,}8}{0{,}6} = 3\).
а) \(b_6 = b_1 \cdot q^5\), \(b_2 = b_1 \cdot q\), тогда \[\frac{b_6}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q} = q^4 = 3^4 = 81.\]
б) Вынесем общие множители за скобки: \[\begin{aligned} &\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6} = \frac{b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^5} = {} \\ &= \frac{b_1 \cdot q(1 + q^3)}{b_1 \cdot q^2(1 + q^3)} = \frac{1}{q}. \end{aligned}\] Сокращение возможно: \(b_1 \cdot q \neq 0\) как произведение ненулевых чисел, \(1 + q^3 = 1 + 27 = 28 \neq 0\).
\(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6} = \frac{1}{q} = \frac{1}{3}\).
Проверка: \(b_3 = 0{,}6 \cdot 9 = 5{,}4\), \(b_5 = 0{,}6 \cdot 81 = 48{,}6\), \(b_6 = 0{,}6 \cdot 243 = 145{,}8\);
\(b_2 + b_5 = 1{,}8 + 48{,}6 = 50{,}4\), \(b_3 + b_6 = 5{,}4 + 145{,}8 = 151{,}2 = 3 \cdot 50{,}4\).
Ответ: а) \(\frac{b_6}{b_2} = 81\); б) \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6} = \frac{1}{3}\).
Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 0{,}6 \cdot 3^{n-1}\). Найдите: а) отношение \(\frac{b_6}{b_2}\); б) значение выражения \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6}\).
Найдём первый член и знаменатель прогрессии. По формуле \(n\)-го члена \(b_1 = 0{,}6 \cdot 3^{1-1} = 0{,}6\), \(b_2 = 0{,}6 \cdot 3^{2-1} = 1{,}8\). Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1{,}8}{0{,}6} = 3\).
а) По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(b_6 = b_1 \cdot q^5\), \(b_2 = b_1 \cdot q\). Тогда \[\frac{b_6}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q} = q^4 = 3^4 = 81.\]
б) Воспользуемся формулой \(n\)-го члена геометрической прогрессии и вынесем общие множители за скобки: \[\begin{aligned} &\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6} = \frac{b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^5} = {} \\ &= \frac{b_1 \cdot q(1 + q^3)}{b_1 \cdot q^2(1 + q^3)} = \frac{1}{q}. \end{aligned}\] Сокращение возможно: \(b_1 \cdot q \neq 0\) как произведение ненулевых чисел, а \(1 + q^3 = 1 + 27 = 28 \neq 0\). Следовательно, \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6} = \frac{1}{q} = \frac{1}{3}\).
Проверка: \(b_3 = 0{,}6 \cdot 9 = 5{,}4\), \(b_5 = 0{,}6 \cdot 81 = 48{,}6\), \(b_6 = 0{,}6 \cdot 243 = 145{,}8\);
\(b_2 + b_5 = 1{,}8 + 48{,}6 = 50{,}4\), \(b_3 + b_6 = 5{,}4 + 145{,}8 = 151{,}2 = 3 \cdot 50{,}4\).
Ответ: а) \(\frac{b_6}{b_2} = 81\); б) \(\frac{b_2 + b_5}{b_3 + b_6} = \frac{1}{3}\).
