Страница 142 номер 624, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что последовательность \(a_n = \frac{10}{n^2 - 10n + 27}\) является ограниченной, и найдите её наибольший член.
\[n^2 - 10n + 27 = n^2 - 2 \cdot 5 \cdot n + 5^2 - 5^2 + 27 = (n - 5)^2 + 2.\] Числитель и знаменатель дроби \(a_n = \frac{10}{(n - 5)^2 + 2}\) положительны, поэтому \(a_n > 0\) при любом натуральном \(n\) — последовательность ограничена снизу, например нулём.
\((n - 5)^2 + 2 \geqslant 2\) при любом натуральном \(n\), так как \((n - 5)^2 \geqslant 0\), поэтому \(a_n \leqslant \frac{10}{2} = 5\) — последовательность ограничена сверху числом 5.
Наименьшее значение 2 знаменатель принимает при \(n = 5\), а 5 — натуральное число, поэтому наибольший член последовательности — \(a_5 = \frac{10}{2} = 5\).
\(0 < a_n \leqslant 5\) при любом натуральном \(n\) — последовательность ограничена.
Ответ: последовательность ограничена; наибольший член \(a_5 = 5\).
Докажите, что последовательность \(a_n = \frac{10}{n^2 - 10n + 27}\) является ограниченной, и найдите её наибольший член.
Выделим в знаменателе полный квадрат: \[n^2 - 10n + 27 = n^2 - 2 \cdot 5 \cdot n + 5^2 - 5^2 + 27 = (n - 5)^2 + 2.\] Следовательно, \(a_n = \frac{10}{(n - 5)^2 + 2}\).
Числитель и знаменатель дроби \(\frac{10}{(n - 5)^2 + 2}\) положительны, значит, сама дробь положительна. Следовательно, \(a_n > 0\) при любом натуральном \(n\), и последовательность \((a_n)\) ограничена снизу, например нулём.
Так как \((n - 5)^2 \geqslant 0\), знаменатель \((n - 5)^2 + 2 \geqslant 2\) при любом натуральном \(n\), причём наименьшее значение 2 он принимает при \(n = 5\), а 5 — натуральное число. Дробь с положительным числителем тем больше, чем меньше её положительный знаменатель, поэтому \(a_n \leqslant \frac{10}{2} = 5\) при любом натуральном \(n\), и наибольший член последовательности — \(a_5 = \frac{10}{2} = 5\). Значит, последовательность ограничена сверху числом 5.
Получили, что \(0 < a_n \leqslant 5\) при любом натуральном \(n\), то есть последовательность \((a_n)\) ограничена и снизу, и сверху, значит, она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена; наибольший член \(a_5 = 5\).
