Страница 142 номер 620, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(-x^2 - 4x - 5 \le 0\); б) \(6x^2 + x < 4x^2 + 3\); в) \((x + 9)(x + 1)(x + 6) \le 0\); г) \((4 - 3x)(25 - x^2) > 0\); д) \(-3x(x - 6)(3 - x)(18 - 8x) \le 0\).
а) \[D = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4 < 0.\] Значит, уравнение \(-x^2 - 4x - 5 = 0\) не имеет корней и парабола — график функции \(y = -x^2 - 4x - 5\) — не пересекает ось \(x\). Ветви этой параболы направлены вниз (старший коэффициент равен \(-1\)), поэтому весь график лежит ниже оси \(x\): \(-x^2 - 4x - 5 < 0\) при любом \(x\). Следовательно, неравенство \(-x^2 - 4x - 5 \leqslant 0\) выполняется при всех \(x\), и множество его решений — вся числовая прямая: \((-\infty; +\infty)\).
б) \[\begin{aligned} 6x^2 + x &< 4x^2 + 3; \\ 6x^2 + x - 4x^2 - 3 &< 0; \\ 2x^2 + x - 3 &< 0. \end{aligned}\] Корни трёхчлена \(2x^2 + x - 3\): \[\begin{aligned} 2x^2 + x - 3 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -1{,}5; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 + x - 3 = 2(x + 1{,}5)(x - 1) = (2x + 3)(x - 1)\), и неравенство принимает вид \((2x + 3)(x - 1) < 0\). При \(x > 1\) оба множителя \(2x + 3\) и \(x - 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1{,}5; 1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1{,}5)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому корни \(-1{,}5\) и 1 в решение не входят: \((-1{,}5; 1)\).
в) Левая часть обращается в нуль при \(x = -9\), \(x = -1\) и \(x = -6\). При \(x > -1\) все множители \(x + 9\), \(x + 1\) и \(x + 6\) положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((-6; -1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-9; -6)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -9)\) — отрицательно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-9\), \(-6\) и \(-1\) входят в решение: \((-\infty; -9] \cup [-6; -1]\).
г) Так как \(25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)\), а \((4 - 3x)(5 - x) = (3x - 4)(x - 5)\) (оба множителя сменили знак), неравенство можно записать в виде \((3x - 4)(x - 5)(x + 5) > 0\). Левая часть обращается в нуль при \(x = \frac{4}{3}\), \(x = 5\) и \(x = -5\). При \(x > 5\) все множители \(3x - 4\), \(x - 5\) и \(x + 5\) положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \(\left(\frac{4}{3}; 5\right)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-5; \frac{4}{3}\right)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — отрицательно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-5\), \(\frac{4}{3}\) и 5 в решение не входят: \(\left(-5; \frac{4}{3}\right) \cup (5; +\infty)\).
д) Три множителя имеют отрицательный коэффициент при \(x\): \(-3x\), \(3 - x = -(x - 3)\) и \(18 - 8x = -2(4x - 9)\). Поэтому левая часть неравенства равна \((-3) \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot x(x - 6)(x - 3)(4x - 9) = -6x(x - 6)(x - 3)(4x - 9)\). При делении обеих частей на \(-6\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -6x(x - 6)(x - 3)(4x - 9) &\leqslant 0; \qquad | : (-6) \\ x(x - 6)(x - 3)(4x - 9) &\geqslant 0. \end{aligned}\] Левая часть обращается в нуль при \(x = 0\), \(x = 6\), \(x = 3\) и \(x = 2{,}25\). При \(x > 6\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((3; 6)\) оно отрицательно, на промежутке \((2{,}25; 3)\) — положительно, на промежутке \((0; 2{,}25)\) — отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(0\); \(2{,}25\); \(3\) и \(6\) входят в решение: \((-\infty; 0] \cup [2{,}25; 3] \cup [6; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; +\infty)\); б) \((-1{,}5; 1)\); в) \((-\infty; -9] \cup [-6; -1]\); г) \(\left(-5; \frac{4}{3}\right) \cup (5; +\infty)\); д) \((-\infty; 0] \cup [2{,}25; 3] \cup [6; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(-x^2 - 4x - 5 \le 0\); б) \(6x^2 + x < 4x^2 + 3\); в) \((x + 9)(x + 1)(x + 6) \le 0\); г) \((4 - 3x)(25 - x^2) > 0\); д) \(-3x(x - 6)(3 - x)(18 - 8x) \le 0\).
а) Найдём дискриминант квадратного трёхчлена \(-x^2 - 4x - 5\): \[D = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4 < 0.\] Значит, уравнение \(-x^2 - 4x - 5 = 0\) не имеет корней и парабола — график функции \(y = -x^2 - 4x - 5\) — не пересекает ось \(x\). Ветви этой параболы направлены вниз (старший коэффициент равен \(-1\)), поэтому весь график лежит ниже оси \(x\): \(-x^2 - 4x - 5 < 0\) при любом \(x\). Следовательно, неравенство \(-x^2 - 4x - 5 \leqslant 0\) выполняется при всех \(x\), и множество его решений — вся числовая прямая: \((-\infty; +\infty)\).
б) Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} 6x^2 + x &< 4x^2 + 3; \\ 6x^2 + x - 4x^2 - 3 &< 0; \\ 2x^2 + x - 3 &< 0. \end{aligned}\] Найдём корни квадратного трёхчлена \(2x^2 + x - 3\): \[\begin{aligned} 2x^2 + x - 3 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -1{,}5; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = 1. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 + x - 3 = 2(x + 1{,}5)(x - 1) = (2x + 3)(x - 1)\), и неравенство принимает вид \((2x + 3)(x - 1) < 0\). Решим его методом интервалов. При \(x > 1\) оба множителя \(2x + 3\) и \(x - 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1{,}5; 1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1{,}5)\) — положительно.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому корни \(-1{,}5\) и 1 в решение не входят: \((-1{,}5; 1)\).
в) Решим неравенство методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = -9\), \(x = -1\) и \(x = -6\). При \(x > -1\) все множители \(x + 9\), \(x + 1\) и \(x + 6\) положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((-6; -1)\) оно отрицательно, на промежутке \((-9; -6)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -9)\) — отрицательно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-9\), \(-6\) и \(-1\) входят в решение: \((-\infty; -9] \cup [-6; -1]\).
г) Так как \(25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)\), а \((4 - 3x)(5 - x) = (3x - 4)(x - 5)\) (оба множителя сменили знак), неравенство можно записать в виде \((3x - 4)(x - 5)(x + 5) > 0\). Решим его методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = \frac{4}{3}\), \(x = 5\) и \(x = -5\). При \(x > 5\) все множители \(3x - 4\), \(x - 5\) и \(x + 5\) положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \(\left(\frac{4}{3}; 5\right)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-5; \frac{4}{3}\right)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — отрицательно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа \(-5\), \(\frac{4}{3}\) и 5 в решение не входят: \(\left(-5; \frac{4}{3}\right) \cup (5; +\infty)\).
д) Три множителя имеют отрицательный коэффициент при \(x\): \(-3x\), \(3 - x = -(x - 3)\) и \(18 - 8x = -2(4x - 9)\). Поэтому левая часть неравенства равна \((-3) \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot x(x - 6)(x - 3)(4x - 9) = -6x(x - 6)(x - 3)(4x - 9)\). Разделим обе части неравенства на \(-6\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -6x(x - 6)(x - 3)(4x - 9) &\leqslant 0; \qquad | : (-6) \\ x(x - 6)(x - 3)(4x - 9) &\geqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 0\), \(x = 6\), \(x = 3\) и \(x = 2{,}25\). При \(x > 6\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((3; 6)\) оно отрицательно, на промежутке \((2{,}25; 3)\) — положительно, на промежутке \((0; 2{,}25)\) — отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(0\); \(2{,}25\); \(3\) и \(6\) входят в решение: \((-\infty; 0] \cup [2{,}25; 3] \cup [6; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; +\infty)\); б) \((-1{,}5; 1)\); в) \((-\infty; -9] \cup [-6; -1]\); г) \(\left(-5; \frac{4}{3}\right) \cup (5; +\infty)\); д) \((-\infty; 0] \cup [2{,}25; 3] \cup [6; +\infty)\).
