Страница 141 номер 617, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(2x^2 - 9x + 4 > 0\); б) \((x + 1)(2x + 5) > 2\); в) \(x(x + 13)(2x + 5) \le 0\); г) \(\left(x - \frac{4}{3}\right)\left(x - \frac{7}{5}\right)\left(x + \frac{9}{2}\right) > 0\); д) \((9x + 4)(x - 7)(1 - 4x)(x + 1) < 0\).
а) \[\begin{aligned} 2x^2 - 9x + 4 &= 0; \\ D &= (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49; \\ x_1 &= \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 - 9x + 4 = 2(x - 0{,}5)(x - 4) = (2x - 1)(x - 4)\), и неравенство принимает вид \((2x - 1)(x - 4) > 0\). При \(x > 4\) оба множителя \(2x - 1\) и \(x - 4\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((0{,}5; 4)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0{,}5)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому корни \(0{,}5\) и 4 в решение не входят: \((-\infty; 0{,}5) \cup (4; +\infty)\).
б) \[\begin{aligned} (x + 1)(2x + 5) &> 2; \\ 2x^2 + 5x + 2x + 5 - 2 &> 0; \\ 2x^2 + 7x + 3 &> 0. \end{aligned}\] Корни трёхчлена \(2x^2 + 7x + 3\): \[\begin{aligned} 2x^2 + 7x + 3 &= 0; \\ D &= 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = -3; \\ x_2 &= \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = -0{,}5. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 + 7x + 3 = 2(x + 3)(x + 0{,}5) = (x + 3)(2x + 1)\), и неравенство принимает вид \((x + 3)(2x + 1) > 0\). При \(x > -0{,}5\) оба множителя \(x + 3\) и \(2x + 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; -0{,}5)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому корни \(-3\) и \(-0{,}5\) в решение не входят: \((-\infty; -3) \cup (-0{,}5; +\infty)\).
в) Левая часть обращается в нуль при \(x = 0\), \(x = -13\) и \(x = -2{,}5\). При \(x > 0\) все множители \(x\), \(x + 13\) и \(2x + 5\) положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((-2{,}5; 0)\) оно отрицательно, на промежутке \((-13; -2{,}5)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -13)\) — отрицательно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-13\); \(-2{,}5\) и \(0\) входят в решение: \((-\infty; -13] \cup [-2{,}5; 0]\).
г) Левая часть обращается в нуль при \(x = \frac{4}{3}\), \(x = \frac{7}{5}\) и \(x = -\frac{9}{2}\). Так как \(\frac{4}{3} = \frac{20}{15}\), а \(\frac{7}{5} = \frac{21}{15}\), то \(-\frac{9}{2} < \frac{4}{3} < \frac{7}{5}\). При \(x > \frac{7}{5}\) все три множителя положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \(\left(\frac{4}{3}; \frac{7}{5}\right)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-\frac{9}{2}; \frac{4}{3}\right)\) — положительно, на промежутке \(\left(-\infty; -\frac{9}{2}\right)\) — отрицательно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-\frac{9}{2}\), \(\frac{4}{3}\) и \(\frac{7}{5}\) в решение не входят: \(\left(-\frac{9}{2}; \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{5}; +\infty\right)\).
д) \(1 - 4x = -(4x - 1)\); при умножении обеих частей на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} -(9x + 4)(x - 7)(4x - 1)(x + 1) &< 0; \qquad | \cdot (-1) \\ (9x + 4)(x - 7)(4x - 1)(x + 1) &> 0. \end{aligned}\] Левая часть обращается в нуль при \(x = -\frac{4}{9}\), \(x = 7\), \(x = 0{,}25\) и \(x = -1\). При \(x > 7\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((0{,}25; 7)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-\frac{4}{9}; 0{,}25\right)\) — положительно, на промежутке \(\left(-1; -\frac{4}{9}\right)\) — отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому эти точки в решение не входят: \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{4}{9}; 0{,}25\right) \cup (7; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; 0{,}5) \cup (4; +\infty)\); б) \((-\infty; -3) \cup (-0{,}5; +\infty)\); в) \((-\infty; -13] \cup [-2{,}5; 0]\); г) \(\left(-\frac{9}{2}; \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{5}; +\infty\right)\); д) \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{4}{9}; 0{,}25\right) \cup (7; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(2x^2 - 9x + 4 > 0\); б) \((x + 1)(2x + 5) > 2\); в) \(x(x + 13)(2x + 5) \le 0\); г) \(\left(x - \frac{4}{3}\right)\left(x - \frac{7}{5}\right)\left(x + \frac{9}{2}\right) > 0\); д) \((9x + 4)(x - 7)(1 - 4x)(x + 1) < 0\).
а) Найдём корни квадратного трёхчлена \(2x^2 - 9x + 4\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 9x + 4 &= 0; \\ D &= (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49; \\ x_1 &= \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = 0{,}5; \\ x_2 &= \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = 4. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 - 9x + 4 = 2(x - 0{,}5)(x - 4) = (2x - 1)(x - 4)\), и неравенство принимает вид \((2x - 1)(x - 4) > 0\). Решим его методом интервалов. При \(x > 4\) оба множителя \(2x - 1\) и \(x - 4\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((0{,}5; 4)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0{,}5)\) — положительно.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому корни \(0{,}5\) и 4 в решение не входят: \((-\infty; 0{,}5) \cup (4; +\infty)\).
б) Раскроем скобки, перенесём 2 в левую часть и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} (x + 1)(2x + 5) &> 2; \\ 2x^2 + 5x + 2x + 5 - 2 &> 0; \\ 2x^2 + 7x + 3 &> 0. \end{aligned}\] Найдём корни квадратного трёхчлена \(2x^2 + 7x + 3\): \[\begin{aligned} 2x^2 + 7x + 3 &= 0; \\ D &= 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = -3; \\ x_2 &= \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = -0{,}5. \end{aligned}\] Значит, \(2x^2 + 7x + 3 = 2(x + 3)(x + 0{,}5) = (x + 3)(2x + 1)\), и неравенство принимает вид \((x + 3)(2x + 1) > 0\). Решим его методом интервалов. При \(x > -0{,}5\) оба множителя \(x + 3\) и \(2x + 1\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; -0{,}5)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому корни \(-3\) и \(-0{,}5\) в решение не входят: \((-\infty; -3) \cup (-0{,}5; +\infty)\).
в) Решим неравенство методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = 0\), \(x = -13\) и \(x = -2{,}5\). При \(x > 0\) все множители \(x\), \(x + 13\) и \(2x + 5\) положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((-2{,}5; 0)\) оно отрицательно, на промежутке \((-13; -2{,}5)\) — положительно, на промежутке \((-\infty; -13)\) — отрицательно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-13\); \(-2{,}5\) и \(0\) входят в решение: \((-\infty; -13] \cup [-2{,}5; 0]\).
г) Левая часть обращается в нуль при \(x = \frac{4}{3}\), \(x = \frac{7}{5}\) и \(x = -\frac{9}{2}\). Так как \(\frac{4}{3} = \frac{20}{15}\), а \(\frac{7}{5} = \frac{21}{15}\), то \(-\frac{9}{2} < \frac{4}{3} < \frac{7}{5}\). Решим неравенство методом интервалов. При \(x > \frac{7}{5}\) все три множителя положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \(\left(\frac{4}{3}; \frac{7}{5}\right)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-\frac{9}{2}; \frac{4}{3}\right)\) — положительно, на промежутке \(\left(-\infty; -\frac{9}{2}\right)\) — отрицательно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа \(-\frac{9}{2}\), \(\frac{4}{3}\) и \(\frac{7}{5}\) в решение не входят: \(\left(-\frac{9}{2}; \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{5}; +\infty\right)\).
д) Множитель \(1 - 4x\) запишем в виде \(-(4x - 1)\); неравенство примет вид \(-(9x + 4)(x - 7)(4x - 1)(x + 1) < 0\). Умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} -(9x + 4)(x - 7)(4x - 1)(x + 1) &< 0; \qquad | \cdot (-1) \\ (9x + 4)(x - 7)(4x - 1)(x + 1) &> 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Левая часть обращается в нуль при \(x = -\frac{4}{9}\), \(x = 7\), \(x = 0{,}25\) и \(x = -1\). При \(x > 7\) все множители положительны, поэтому произведение положительно. Все множители стоят в первой степени, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак произведения меняется: на промежутке \((0{,}25; 7)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-\frac{4}{9}; 0{,}25\right)\) — положительно, на промежутке \(\left(-1; -\frac{4}{9}\right)\) — отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому эти точки в решение не входят: \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{4}{9}; 0{,}25\right) \cup (7; +\infty)\).
Ответ: а) \((-\infty; 0{,}5) \cup (4; +\infty)\); б) \((-\infty; -3) \cup (-0{,}5; +\infty)\); в) \((-\infty; -13] \cup [-2{,}5; 0]\); г) \(\left(-\frac{9}{2}; \frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{5}; +\infty\right)\); д) \((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{4}{9}; 0{,}25\right) \cup (7; +\infty)\).
