Страница 141 номер 613, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(S_0 = 1\,500\,000\) руб.
\(k = 1\) % в месяц
\(x \leqslant 300\,000\) руб. — ежемесячный платёж
Найти: наименьшее \(n\) — число месяцев.
Решение:
Каждый месяц долг увеличивается на 1 %, после чего Кирилл вносит платёж. При равных платежах это схема аннуитетных платежей, в которой расчётный период — месяц. Если кредит взят на \(n\) месяцев, то по формуле аннуитетного платежа \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\) при \(q = 1 + \frac{1}{100} = 1{,}01\) каждый платёж равен \[x = \frac{1{,}01^n \cdot (1{,}01 - 1)}{1{,}01^n - 1} \cdot 1\,500\,000 = \frac{1{,}01^n}{1{,}01^n - 1} \cdot 15\,000.\] Нужно найти наименьшее натуральное \(n\), при котором \(x \leqslant 300\,000\). Поскольку \(1{,}01 > 1\), неравенство \(1{,}01^n > 1\) выполняется при любом натуральном \(n\), то есть \(1{,}01^n - 1 > 0\), и при умножении на \(1{,}01^n - 1\) знак неравенства не изменится: \[\begin{aligned} \frac{1{,}01^n}{1{,}01^n - 1} \cdot 15\,000 &\leqslant 300\,000; \qquad | : 15\,000 \\ \frac{1{,}01^n}{1{,}01^n - 1} &\leqslant 20; \qquad | \cdot (1{,}01^n - 1) \\ 1{,}01^n &\leqslant 20 \cdot 1{,}01^n - 20; \\ 19 \cdot 1{,}01^n &\geqslant 20; \qquad | : 19 \\ 1{,}01^n &\geqslant \frac{20}{19}. \end{aligned}\] Степени числа 1,01: \[\begin{aligned} 1{,}01^1 &= 1{,}01; \\ 1{,}01^2 &= 1{,}0201; \\ 1{,}01^3 &= 1{,}030301; \\ 1{,}01^4 &= 1{,}04060401; \\ 1{,}01^5 &= 1{,}0510100501; \\ 1{,}01^6 &= 1{,}061520150601. \end{aligned}\] Поскольку \(\frac{20}{19} \approx 1{,}0526\), получаем \(1{,}01^5 < \frac{20}{19} < 1{,}01^6\), а с ростом \(n\) степень \(1{,}01^n\) увеличивается. Значит, неравенство выполняется при \(n \geqslant 6\) и не выполняется при \(n \leqslant 5\): при равных платежах кредит можно взять не меньше чем на 6 месяцев.
Платежи в условии равными не названы, но пяти месяцев (и тем более меньшего срока) не хватит ни при каких платежах до 300 тыс. рублей: долг после пятого платежа не меньше \(1500 \cdot 1{,}01^5 - 300 \cdot \frac{1{,}01^5 - 1}{0{,}01} \approx 46{,}2 > 0\) (тыс. руб.) — наименьший он, когда каждый платёж равен 300 тыс. рублей.
Ответ: 6 месяцев.
Дано:
\(S_0 = 1\,500\,000\) руб.
\(k = 1\) % в месяц
\(x \leqslant 300\,000\) руб. — ежемесячный платёж
Найти: наименьшее \(n\) — число месяцев.
Решение:
Каждый месяц долг увеличивается на 1 %, после чего Кирилл вносит платёж. При равных платежах это схема аннуитетных платежей, в которой расчётный период — месяц. Если кредит взят на \(n\) месяцев и гасится равными платежами, то по формуле аннуитетного платежа \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\) при \(q = 1 + \frac{1}{100} = 1{,}01\) каждый платёж равен \[x = \frac{1{,}01^n \cdot (1{,}01 - 1)}{1{,}01^n - 1} \cdot 1\,500\,000 = \frac{1{,}01^n}{1{,}01^n - 1} \cdot 15\,000.\] Нужно найти наименьшее натуральное \(n\), при котором \(x \leqslant 300\,000\). Разделим обе части этого неравенства на \(15\,000\), а затем умножим на \(1{,}01^n - 1\). Поскольку \(1{,}01 > 1\), неравенство \(1{,}01^n > 1\) выполняется при любом натуральном \(n\), то есть \(1{,}01^n - 1 > 0\), и знак неравенства не изменится: \[\begin{aligned} \frac{1{,}01^n}{1{,}01^n - 1} \cdot 15\,000 &\leqslant 300\,000; \qquad | : 15\,000 \\ \frac{1{,}01^n}{1{,}01^n - 1} &\leqslant 20; \qquad | \cdot (1{,}01^n - 1) \\ 1{,}01^n &\leqslant 20 \cdot 1{,}01^n - 20; \\ 19 \cdot 1{,}01^n &\geqslant 20; \qquad | : 19 \\ 1{,}01^n &\geqslant \frac{20}{19}. \end{aligned}\] Будем последовательно выписывать степени числа 1,01, пока не найдём подходящую: \[\begin{aligned} 1{,}01^1 &= 1{,}01; \\ 1{,}01^2 &= 1{,}0201; \\ 1{,}01^3 &= 1{,}030301; \\ 1{,}01^4 &= 1{,}04060401; \\ 1{,}01^5 &= 1{,}0510100501; \\ 1{,}01^6 &= 1{,}061520150601. \end{aligned}\] Поскольку \(\frac{20}{19} \approx 1{,}0526\), получаем \(1{,}01^5 < \frac{20}{19} < 1{,}01^6\), а с ростом \(n\) степень \(1{,}01^n\) увеличивается. Значит, неравенство выполняется при \(n \geqslant 6\) и не выполняется при \(n \leqslant 5\): при равных платежах кредит можно взять не меньше чем на 6 месяцев.
Платежи в условии равными не названы, но пяти месяцев (и тем более меньшего срока) не хватит ни при каких платежах до 300 тыс. рублей: долг после пятого платежа не меньше \(1500 \cdot 1{,}01^5 - 300 \cdot \frac{1{,}01^5 - 1}{0{,}01} \approx 46{,}2 > 0\) (тыс. руб.) — наименьший он, когда каждый платёж равен 300 тыс. рублей.
Ответ: 6 месяцев.
