Страница 140 номер 610, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Александр Павлович хочет взять в кредит 2 147 200 рублей на три года под 20 % годовых. Какой вид платежей (дифференцированный или аннуитетный) будет более выгодным для Александра Павловича?
Дано:
\(S_0 = 2\,147\,200\) руб.
\(n = 3\) года
\(k = 20\) %
Найти: какой вид платежей выгоднее.
Решение:
Выгоднее та схема, при которой общая сумма платежей меньше.
При дифференцированных платежах общая сумма платежей \(S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{k \cdot (n + 1)}{200}\right)\). \[S = 2\,147\,200 \cdot \left(1 + \frac{20 \cdot 4}{200}\right) = 2\,147\,200 \cdot 1{,}4 = 3\,006\,080.\]
Аннуитетный платёж \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2\). Так как \(1{,}2^3 = 1{,}728\), получаем:
\[\begin{aligned} &x = \frac{1{,}2^3 \cdot (1{,}2 - 1)}{1{,}2^3 - 1} \cdot 2\,147\,200 = \frac{1{,}728 \cdot 0{,}2}{0{,}728} \cdot 2\,147\,200 = {} \\ &= \frac{216}{455} \cdot 2\,147\,200 = \frac{92\,759\,040}{91} \approx 1\,019\,330{,}11. \end{aligned}\]
Платёж не выражается целым числом рублей; с точностью до копейки он равен \(1\,019\,330{,}11\) рубля.
\(3x = \frac{648}{455} \cdot 2\,147\,200 \approx 3\,057\,990{,}33\) (руб.) — общая сумма аннуитетных платежей.
Вывод от округления не зависит: \(\frac{648}{455} > 1{,}4\), так как \(1{,}4 \cdot 455 = 637 < 648\), поэтому \(3x > 1{,}4 \cdot 2\,147\,200 = 3\,006\,080\). Значит, общая сумма аннуитетных платежей больше, чем дифференцированных, и выгоднее дифференцированные платежи.
Ответ: выгоднее дифференцированные платежи: общая сумма выплат \(3\,006\,080\) рублей меньше, чем примерно \(3\,057\,990{,}33\) рубля при аннуитетных.
Александр Павлович хочет взять в кредит 2 147 200 рублей на три года под 20 % годовых. Какой вид платежей (дифференцированный или аннуитетный) будет более выгодным для Александра Павловича?
Дано:
\(S_0 = 2\,147\,200\) руб.
\(n = 3\) года
\(k = 20\) %
Найти: какой вид платежей выгоднее.
Решение:
Выгоднее та схема, при которой общая сумма платежей меньше. Найдём её для каждой схемы.
При дифференцированных платежах общая сумма платежей по кредиту \(S_0\) рублей на \(n\) лет под \(k\) % годовых равна \(S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{k \cdot (n + 1)}{200}\right)\) рублей. При \(S_0 = 2\,147\,200\), \(k = 20\), \(n = 3\) получаем: \[S = 2\,147\,200 \cdot \left(1 + \frac{20 \cdot 4}{200}\right) = 2\,147\,200 \cdot 1{,}4 = 3\,006\,080.\]
Величина аннуитетного платежа вычисляется по формуле \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2\). Так как \(1{,}2^3 = 1{,}728\), получаем: \[\begin{aligned} &x = \frac{1{,}2^3 \cdot (1{,}2 - 1)}{1{,}2^3 - 1} \cdot 2\,147\,200 = \frac{1{,}728 \cdot 0{,}2}{0{,}728} \cdot 2\,147\,200 = {} \\ &= \frac{216}{455} \cdot 2\,147\,200 = \frac{92\,759\,040}{91} \approx 1\,019\,330{,}11. \end{aligned}\] Платёж не выражается целым числом рублей; с точностью до копейки он равен \(1\,019\,330{,}11\) рубля. За три года при аннуитетных платежах Александр Павлович заплатит \(3x = \frac{648}{455} \cdot 2\,147\,200 \approx 3\,057\,990{,}33\) (руб.).
Вывод от округления не зависит: \(\frac{648}{455} > 1{,}4\), так как \(1{,}4 \cdot 455 = 637 < 648\), поэтому \(3x > 1{,}4 \cdot 2\,147\,200 = 3\,006\,080\). Значит, общая сумма аннуитетных платежей больше, чем дифференцированных, и выгоднее дифференцированные платежи.
Ответ: выгоднее дифференцированные платежи: общая сумма выплат \(3\,006\,080\) рублей меньше, чем примерно \(3\,057\,990{,}33\) рубля при аннуитетных.
