Страница 140 номер 607, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Пётр Валерьевич хочет взять в кредит 993 000 рублей на три года под 10 % годовых. Какой вид платежей (дифференцированный или аннуитетный) будет более выгодным для Петра Валерьевича? Зависит ли ответ от суммы кредита?
Дано:
\(S_0 = 993\,000\) руб.
\(n = 3\) года
\(k = 10\) %
Найти: какой вид платежей выгоднее; зависит ли ответ от суммы кредита.
Решение:
Выгоднее та схема, при которой общая сумма платежей меньше.
При дифференцированных платежах общая сумма платежей \(S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{k \cdot (n + 1)}{200}\right)\). \[S = 993\,000 \cdot \left(1 + \frac{10 \cdot 4}{200}\right) = 993\,000 \cdot 1{,}2 = 1\,191\,600.\]
Аннуитетный платёж \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\). Так как \(1{,}1^3 = 1{,}331\), получаем: \[\begin{aligned} &x = \frac{1{,}1^3 \cdot (1{,}1 - 1)}{1{,}1^3 - 1} \cdot 993\,000 = \frac{1{,}331 \cdot 0{,}1 \cdot 993\,000}{0{,}331} = {} \\ &= \frac{1{,}331 \cdot 99\,300}{0{,}331} = 1{,}331 \cdot 300\,000 = 399\,300. \end{aligned}\] \(3 \cdot 399\,300 = 1\,197\,900\) (руб.) — общая сумма аннуитетных платежей.
Поскольку \(1\,191\,600 < 1\,197\,900\), выгоднее дифференцированные платежи.
Ответ не зависит от суммы кредита. При сумме кредита \(S_0\) рублей на тех же условиях:
\(S_0 \cdot \left(1 + \frac{10 \cdot 4}{200}\right) = 1{,}2S_0\) (руб.) — общая сумма дифференцированных платежей;
\(\frac{1{,}331 \cdot 0{,}1}{0{,}331} \cdot S_0\) (руб.) — аннуитетный платёж, где \(\frac{1{,}331 \cdot 0{,}1}{0{,}331} = \frac{1331}{3310}\);
\(\frac{3 \cdot 1331}{3310}S_0 = \frac{3993}{3310}S_0\) (руб.) — общая сумма трёх аннуитетных платежей.
Обе суммы пропорциональны \(S_0\), а \(1{,}2 = \frac{3972}{3310} < \frac{3993}{3310}\), поэтому при любой сумме кредита общая сумма дифференцированных платежей меньше.
Ответ: выгоднее дифференцированные платежи: общая сумма выплат \(1\,191\,600\) рублей меньше, чем \(1\,197\,900\) рублей при аннуитетных; от суммы кредита ответ не зависит.
Пётр Валерьевич хочет взять в кредит 993 000 рублей на три года под 10 % годовых. Какой вид платежей (дифференцированный или аннуитетный) будет более выгодным для Петра Валерьевича? Зависит ли ответ от суммы кредита?
Дано:
\(S_0 = 993\,000\) руб.
\(n = 3\) года
\(k = 10\) %
Найти: какой вид платежей выгоднее; зависит ли ответ от суммы кредита.
Решение:
Выгоднее та схема, при которой общая сумма платежей меньше. Найдём её для каждой схемы.
При дифференцированных платежах общая сумма платежей по кредиту \(S_0\) рублей на \(n\) лет под \(k\) % годовых равна \(S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{k \cdot (n + 1)}{200}\right)\) рублей. При \(S_0 = 993\,000\), \(k = 10\), \(n = 3\) получаем: \[S = 993\,000 \cdot \left(1 + \frac{10 \cdot 4}{200}\right) = 993\,000 \cdot 1{,}2 = 1\,191\,600.\]
Величина аннуитетного платежа вычисляется по формуле \(x = \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \cdot S_0\), где \(q = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1\). Так как \(1{,}1^3 = 1{,}331\), получаем: \[\begin{aligned} &x = \frac{1{,}1^3 \cdot (1{,}1 - 1)}{1{,}1^3 - 1} \cdot 993\,000 = \frac{1{,}331 \cdot 0{,}1 \cdot 993\,000}{0{,}331} = {} \\ &= \frac{1{,}331 \cdot 99\,300}{0{,}331} = 1{,}331 \cdot 300\,000 = 399\,300. \end{aligned}\] За три года при аннуитетных платежах Пётр Валерьевич заплатит \(3 \cdot 399\,300 = 1\,197\,900\) (руб.).
Поскольку \(1\,191\,600 < 1\,197\,900\), выгоднее дифференцированные платежи.
Ответ не зависит от суммы кредита. Действительно, при сумме кредита \(S_0\) рублей на тех же условиях дифференцированные платежи составят в сумме \(S_0 \cdot \left(1 + \frac{10 \cdot 4}{200}\right) = 1{,}2S_0\) рублей. Аннуитетный платёж равен \(\frac{1{,}331 \cdot 0{,}1}{0{,}331} \cdot S_0\) рублей, где \(\frac{1{,}331 \cdot 0{,}1}{0{,}331} = \frac{1331}{3310}\), поэтому три аннуитетных платежа составят в сумме \(\frac{3 \cdot 1331}{3310}S_0 = \frac{3993}{3310}S_0\) рублей. Обе суммы пропорциональны \(S_0\), а \(1{,}2 = \frac{3972}{3310} < \frac{3993}{3310}\), поэтому при любой сумме кредита общая сумма дифференцированных платежей меньше.
Ответ: выгоднее дифференцированные платежи: общая сумма выплат \(1\,191\,600\) рублей меньше, чем \(1\,197\,900\) рублей при аннуитетных; от суммы кредита ответ не зависит.
