Страница 139 номер 587, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(S_0 = 15\,000\) руб.
\(k = 3\) %
\(S_n > 20\,000\) руб.

Найти: наименьшее число лет \(n\).

Решение:

Если в банк положили \(S_0\) рублей под \(k\) % годовых (проценты простые), то через \(n\) лет на вкладе будет \(S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{k}{100} \cdot n\right)\) рублей. При \(S_0 = 15\,000\) и \(k = 3\): \[S_n = 15\,000 \cdot \left(1 + \frac{3}{100} \cdot n\right) = 15\,000 + 450n.\] Вклад превысит \(20\,000\) рублей, если \(S_n > 20\,000\). Перенесём \(15\,000\) в правую часть и разделим обе части неравенства на положительное число 450 — знак неравенства не изменится: \[\begin{aligned} 15\,000 + 450n &> 20\,000; \\ 450n &> 5000; \qquad | : 450 \\ n &> \frac{100}{9}. \end{aligned}\] Проценты начисляются в конце каждого года, поэтому число лет \(n\) — натуральное. Так как \(\frac{100}{9} = 11\frac{1}{9}\), наименьшее натуральное \(n\), удовлетворяющее неравенству, равно 12. Действительно, \(S_{11} = 15\,000 + 450 \cdot 11 = 19\,950 < 20\,000\), а \(S_{12} = 15\,000 + 450 \cdot 12 = 20\,400 > 20\,000\).

Ответ: через 12 лет.