Страница 132 номер 584, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(T(t) = T_0 + bt + at^2\) — температура элемента, К
\(T_0 = 1380\) К
\(a = -5\) К/мин²
\(b = 150\) К/мин
\(T(t) \leqslant 1900\) К — условие безопасной работы

Найти: наибольшее время \(t\), через которое нужно отключить прибор.

Решение:

Подставим данные в формулу: \(T(t) = 1380 + 150t - 5t^2\). Прибор может сломаться в те моменты, когда \(T(t) > 1900\). Перенесём 1900 в левую часть и разделим обе части неравенства на \(-5\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 1380 + 150t - 5t^2 &> 1900; \\ -5t^2 + 150t - 520 &> 0; \qquad | : (-5) \\ t^2 - 30t + 104 &< 0. \end{aligned}\] Найдём корни квадратного трёхчлена \(t^2 - 30t + 104\): \[\begin{aligned} t^2 - 30t + 104 &= 0; \\ D &= (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 104 = 900 - 416 = 484; \\ t_1 &= \frac{30 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 22}{2} = 4; \\ t_2 &= \frac{30 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 22}{2} = 26. \end{aligned}\] Коэффициент при \(t^2\) равен \(1 > 0\), поэтому ветви параболы — графика функции \(y = t^2 - 30t + 104\) — направлены вверх, и трёхчлен отрицателен только между корнями, при \(4 < t < 26\). Значит, температура выше 1900 К при \(4 < t < 26\), а с начала работы до момента \(t = 4\) включительно она не превышает 1900 К (при \(t = 4\) она равна 1900 К).

Следовательно, первые 4 мин прибор работает безопасно, а сразу после этого температура становится выше 1900 К, поэтому прибор нужно отключить не позже чем через 4 мин после начала работы.

Проверка: \(T(4) = 1380 + 150 \cdot 4 - 5 \cdot 4^2 = 1380 + 600 - 80 = 1900\) (К).

Ответ: 4 мин.