Страница 132 номер 583, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выделите целую часть дроби: а) \(\frac{8x}{x + 4}\); б) \(\frac{3x^2 - 11x - 41}{3x + 7}\).
а) \(8x = 8(x + 4) - 32\), поэтому \[\frac{8x}{x + 4} = \frac{8(x + 4) - 32}{x + 4} = \frac{8(x + 4)}{x + 4} - \frac{32}{x + 4} = 8 - \frac{32}{x + 4}.\]
б) \[\begin{array}{cr|l} - & 3x^2 - 11x - 41 & \underline{\;3x + 7\;} \\ & \underline{3x^2 + 7x}\phantom{{} - 41} & x - 6 \\ - & -18x - 41 & \\ & \underline{-18x - 42} & \\ & 1 & \end{array}\] Неполное частное — \(x - 6\), остаток — 1, то есть \(3x^2 - 11x - 41 = (3x + 7)(x - 6) + 1\). Тогда \[\frac{3x^2 - 11x - 41}{3x + 7} = \frac{(3x + 7)(x - 6) + 1}{3x + 7} = x - 6 + \frac{1}{3x + 7}.\]
Ответ: а) \(8 - \frac{32}{x + 4}\); б) \(x - 6 + \frac{1}{3x + 7}\).
Выделите целую часть дроби: а) \(\frac{8x}{x + 4}\); б) \(\frac{3x^2 - 11x - 41}{3x + 7}\).
а) Представим числитель в виде разности многочлена, который делится на знаменатель, и числа: \(8x = 8(x + 4) - 32\). Тогда \[\frac{8x}{x + 4} = \frac{8(x + 4) - 32}{x + 4} = \frac{8(x + 4)}{x + 4} - \frac{32}{x + 4} = 8 - \frac{32}{x + 4}.\]
б) Разделим в столбик многочлен \(3x^2 - 11x - 41\) на двучлен \(3x + 7\): \[\begin{array}{cr|l} - & 3x^2 - 11x - 41 & \underline{\;3x + 7\;} \\ & \underline{3x^2 + 7x}\phantom{{} - 41} & x - 6 \\ - & -18x - 41 & \\ & \underline{-18x - 42} & \\ & 1 & \end{array}\] Получено неполное частное \(x - 6\) и остаток 1. Следовательно, \(3x^2 - 11x - 41 = (3x + 7)(x - 6) + 1\). С учётом этого преобразуем исходную дробь: \[\frac{3x^2 - 11x - 41}{3x + 7} = \frac{(3x + 7)(x - 6) + 1}{3x + 7} = x - 6 + \frac{1}{3x + 7}.\]
Ответ: а) \(8 - \frac{32}{x + 4}\); б) \(x - 6 + \frac{1}{3x + 7}\).
