Страница 132 номер 582, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(m_1 = 30\) кг — масса раствора в первом сосуде
\(m_2 = 20\) кг — масса раствора во втором сосуде
\(p = 52\) % — концентрация кислоты в смеси всех растворов
\(p' = 55\) % — концентрация кислоты в смеси равных масс растворов

Найти: массу кислоты в первом сосуде.

Решение:

Пусть в первом сосуде \(x\) кг кислоты, а во втором — \(y\) кг. При смешивании всех растворов получится \(30 + 20 = 50\) (кг) раствора, в котором \(50 \cdot 0{,}52 = 26\) (кг) кислоты, поэтому \(x + y = 26\).

Доля кислоты в первом растворе равна \(\frac{x}{30}\), во втором — \(\frac{y}{20}\). Если смешать по \(m\) кг каждого раствора, то в \(2m\) кг смеси будет \(m \cdot \frac{x}{30} + m \cdot \frac{y}{20}\) кг кислоты, что составляет 55 % массы смеси, то есть \(0{,}55 \cdot 2m = 1{,}1m\) кг. Разделим обе части этого уравнения на положительное число \(m\) и умножим на 60: \[\begin{aligned} m \cdot \frac{x}{30} + m \cdot \frac{y}{20} &= 1{,}1m; \qquad | : m \\ \frac{x}{30} + \frac{y}{20} &= 1{,}1; \qquad | \cdot 60 \\ 2x + 3y &= 66. \end{aligned}\] Получаем систему уравнений \[\begin{cases} x + y = 26, \\ 2x + 3y = 66. \end{cases}\] Из первого уравнения \(y = 26 - x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[\begin{aligned} 2x + 3(26 - x) &= 66; \\ 2x + 78 - 3x &= 66; \\ -x &= -12; \\ x &= 12. \end{aligned}\] Тогда \(y = 26 - 12 = 14\).

Проверка: доля кислоты в первом растворе \(\frac{12}{30} = 0{,}4\), во втором — \(\frac{14}{20} = 0{,}7\). Если смешать, например, по 10 кг растворов, то в 20 кг смеси будет \(10 \cdot 0{,}4 + 10 \cdot 0{,}7 = 11\) (кг) кислоты, а \(\frac{11}{20} = 0{,}55\), то есть 55 %. Во всей смеси \(12 + 14 = 26\) (кг) кислоты из 50 кг, а \(\frac{26}{50} = 0{,}52\), то есть 52 %.

Ответ: 12 кг.