Страница 132 номер 581, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Высота подброшенного над землёй мяча меняется по закону \(h(t) = 0{,}4 + 14t - 5t^2\), где \(h\) — высота (в метрах), \(t\) — время (в секундах), прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не меньше десяти метров?
Дано:
\(h(t) = 0{,}4 + 14t - 5t^2\) — высота мяча, м
\(h(t) \geqslant 10\)
Найти: время, в течение которого \(h(t) \geqslant 10\).
Решение:
При умножении на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 0{,}4 + 14t - 5t^2 &\geqslant 10; \\ -5t^2 + 14t - 9{,}6 &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5t^2 - 14t + 9{,}6 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Корни трёхчлена \(5t^2 - 14t + 9{,}6\): \[\begin{aligned} 5t^2 - 14t + 9{,}6 &= 0; \\ D &= (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9{,}6 = 196 - 192 = 4; \\ t_1 &= \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 2}{10} = 1{,}2; \\ t_2 &= \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 2}{10} = 1{,}6. \end{aligned}\] Значит, \(5t^2 - 14t + 9{,}6 = 5(t - 1{,}2)(t - 1{,}6)\), и неравенство принимает вид \[\begin{aligned} 5(t - 1{,}2)(t - 1{,}6) &\leqslant 0; \qquad | : 5 \\ (t - 1{,}2)(t - 1{,}6) &\leqslant 0. \end{aligned}\] При \(t > 1{,}6\) оба множителя \(t - 1{,}2\) и \(t - 1{,}6\) положительны, произведение положительно; при переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому на промежутке \((1{,}2; 1{,}6)\) произведение отрицательно, на промежутке \((-\infty; 1{,}2)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому корни \(1{,}2\) и \(1{,}6\) входят в решение: \(1{,}2 \leqslant t \leqslant 1{,}6\).
\(1{,}6 - 1{,}2 = 0{,}4\) (с) — столько мяч находится на высоте не меньше десяти метров.
Проверка: \(h(1{,}2) = 0{,}4 + 14 \cdot 1{,}2 - 5 \cdot 1{,}2^2 = 0{,}4 + 16{,}8 - 7{,}2 = 10\) (м), \(h(1{,}6) = 0{,}4 + 14 \cdot 1{,}6 - 5 \cdot 1{,}6^2 = 0{,}4 + 22{,}4 - 12{,}8 = 10\) (м).
Ответ: \(0{,}4\) с.
Высота подброшенного над землёй мяча меняется по закону \(h(t) = 0{,}4 + 14t - 5t^2\), где \(h\) — высота (в метрах), \(t\) — время (в секундах), прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не меньше десяти метров?
Дано:
\(h(t) = 0{,}4 + 14t - 5t^2\) — высота мяча, м
\(h(t) \geqslant 10\)
Найти: время, в течение которого \(h(t) \geqslant 10\).
Решение:
Мяч находится на высоте не меньше десяти метров в те моменты времени \(t\), для которых \(h(t) \geqslant 10\). Перенесём 10 в левую часть и умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 0{,}4 + 14t - 5t^2 &\geqslant 10; \\ -5t^2 + 14t - 9{,}6 &\geqslant 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 5t^2 - 14t + 9{,}6 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Найдём корни квадратного трёхчлена \(5t^2 - 14t + 9{,}6\): \[\begin{aligned} 5t^2 - 14t + 9{,}6 &= 0; \\ D &= (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9{,}6 = 196 - 192 = 4; \\ t_1 &= \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 2}{10} = 1{,}2; \\ t_2 &= \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 2}{10} = 1{,}6. \end{aligned}\] Значит, \(5t^2 - 14t + 9{,}6 = 5(t - 1{,}2)(t - 1{,}6)\), и неравенство принимает вид \(5(t - 1{,}2)(t - 1{,}6) \leqslant 0\). Разделим обе части на положительное число 5: \[\begin{aligned} 5(t - 1{,}2)(t - 1{,}6) &\leqslant 0; \qquad | : 5 \\ (t - 1{,}2)(t - 1{,}6) &\leqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. При \(t > 1{,}6\) оба множителя \(t - 1{,}2\) и \(t - 1{,}6\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((1{,}2; 1{,}6)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 1{,}2)\) — положительно.
Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому корни \(1{,}2\) и \(1{,}6\) входят в решение: \(1{,}2 \leqslant t \leqslant 1{,}6\).
Следовательно, мяч находится на высоте не меньше десяти метров с момента \(t = 1{,}2\) с до момента \(t = 1{,}6\) с, то есть в течение \(1{,}6 - 1{,}2 = 0{,}4\) (с).
Проверка: \(h(1{,}2) = 0{,}4 + 14 \cdot 1{,}2 - 5 \cdot 1{,}2^2 = 0{,}4 + 16{,}8 - 7{,}2 = 10\) (м), \(h(1{,}6) = 0{,}4 + 14 \cdot 1{,}6 - 5 \cdot 1{,}6^2 = 0{,}4 + 22{,}4 - 12{,}8 = 10\) (м).
Ответ: \(0{,}4\) с.
