Страница 132 номер 579, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(7^{2n} - 4^{2n}\) делится на 33 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(7^{2n} - 4^{2n} = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33\) — делится на 33, утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(7^{2k} - 4^{2k}\) делится на 33. При \(n = k + 1\), так как \(7^{2(k + 1)} = 7^2 \cdot 7^{2k} = 49 \cdot 7^{2k}\) и \(4^{2(k + 1)} = 4^2 \cdot 4^{2k} = 16 \cdot 4^{2k}\), а \(16 = 49 - 33\), получаем: \[\begin{aligned} &7^{2(k + 1)} - 4^{2(k + 1)} = 49 \cdot 7^{2k} - 16 \cdot 4^{2k} = {} \\ &= 49 \cdot 7^{2k} - 49 \cdot 4^{2k} + 33 \cdot 4^{2k} = {} \\ &= 49(7^{2k} - 4^{2k}) + 33 \cdot 4^{2k}. \end{aligned}\] Слагаемые \(49(7^{2k} - 4^{2k})\) (множитель \(7^{2k} - 4^{2k}\) делится на 33 по предположению) и \(33 \cdot 4^{2k}\) (множитель 33) делятся на 33, значит, их сумма \(7^{2(k + 1)} - 4^{2(k + 1)}\) делится на 33 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(7^{2n} - 4^{2n}\) делится на 33 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(7^{2n} - 4^{2n}\) делится на 33 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(7^{2n} - 4^{2n}\) делится на 33 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(7^{2n} - 4^{2n} = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33\). Число 33 делится на 33, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(7^{2k} - 4^{2k}\) делится на 33. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\). Так как \(7^{2(k + 1)} = 7^2 \cdot 7^{2k} = 49 \cdot 7^{2k}\) и \(4^{2(k + 1)} = 4^2 \cdot 4^{2k} = 16 \cdot 4^{2k}\), а \(16 = 49 - 33\), получаем: \[\begin{aligned} &7^{2(k + 1)} - 4^{2(k + 1)} = 49 \cdot 7^{2k} - 16 \cdot 4^{2k} = {} \\ &= 49 \cdot 7^{2k} - 49 \cdot 4^{2k} + 33 \cdot 4^{2k} = {} \\ &= 49(7^{2k} - 4^{2k}) + 33 \cdot 4^{2k}. \end{aligned}\] Слагаемое \(49(7^{2k} - 4^{2k})\) делится на 33, так как множитель \(7^{2k} - 4^{2k}\) делится на 33 по предположению, а слагаемое \(33 \cdot 4^{2k}\) делится на 33, так как содержит множитель 33. Следовательно, их сумма \(7^{2(k + 1)} - 4^{2(k + 1)}\) делится на 33, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(7^{2n} - 4^{2n}\) делится на 33 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(7^{2n} - 4^{2n}\) делится на 33 при любом натуральном \(n\).
