Страница 132 номер 578, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(13^{2n + 1} + 1\) делится на 14 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(13^{2n + 1} + 1 = 13^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 13^3 + 1 = 2197 + 1 = 2198\) — делится на 14 (\(2198 = 14 \cdot 157\)), утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(13^{2k + 1} + 1\) делится на 14. При \(n = k + 1\) показатель степени равен \(2(k + 1) + 1 = (2k + 1) + 2\), поэтому \[\begin{aligned} &13^{2(k + 1) + 1} + 1 = 13^2 \cdot 13^{2k + 1} + 1 = {} \\ &= 169 \cdot 13^{2k + 1} + 1 = (168 + 1) \cdot 13^{2k + 1} + 1 = {} \\ &= 168 \cdot 13^{2k + 1} + (13^{2k + 1} + 1). \end{aligned}\] Слагаемые \(168 \cdot 13^{2k + 1}\) (\(168 = 14 \cdot 12\)) и \(13^{2k + 1} + 1\) (по предположению) делятся на 14, значит, их сумма \(13^{2(k + 1) + 1} + 1\) делится на 14 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(13^{2n + 1} + 1\) делится на 14 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(13^{2n + 1} + 1\) делится на 14 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(13^{2n + 1} + 1\) делится на 14 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(13^{2n + 1} + 1 = 13^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 13^3 + 1 = 2197 + 1 = 2198\). Поскольку \(2198 = 14 \cdot 157\), число 2198 делится на 14. Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(13^{2k + 1} + 1\) делится на 14. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\). Показатель степени при этом равен \(2(k + 1) + 1 = (2k + 1) + 2\), поэтому \[\begin{aligned} &13^{2(k + 1) + 1} + 1 = 13^2 \cdot 13^{2k + 1} + 1 = {} \\ &= 169 \cdot 13^{2k + 1} + 1 = (168 + 1) \cdot 13^{2k + 1} + 1 = {} \\ &= 168 \cdot 13^{2k + 1} + (13^{2k + 1} + 1). \end{aligned}\] Слагаемое \(168 \cdot 13^{2k + 1}\) делится на 14, так как \(168 = 14 \cdot 12\), а слагаемое \(13^{2k + 1} + 1\) делится на 14 по предположению. Следовательно, их сумма \(13^{2(k + 1) + 1} + 1\) делится на 14, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(13^{2n + 1} + 1\) делится на 14 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(13^{2n + 1} + 1\) делится на 14 при любом натуральном \(n\).
