Страница 132 номер 577, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1).\]
1) При \(n = 1\) слева одно слагаемое \(1^3 = 1\), справа \(1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 - 1) = 1\) — равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное): \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1).\] При \(n = k + 1\) слева добавляется слагаемое \((2(k + 1) - 1)^3 = (2k + 1)^3\). Докажем, что \[\begin{aligned} &1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 + (2k + 1)^3 = {} \\ &= (k + 1)^2(2(k + 1)^2 - 1). \end{aligned}\] Так как \((2k + 1)^3 = (2k + 1)^2(2k + 1) = (4k^2 + 4k + 1)(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1\), а по предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k^2(2k^2 - 1)\), левая часть равна \[\begin{aligned} &k^2(2k^2 - 1) + (2k + 1)^3 = {} \\ &= 2k^4 - k^2 + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = {} \\ &= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1. \end{aligned}\] Правая часть равна \[\begin{aligned} &(k + 1)^2(2(k + 1)^2 - 1) = {} \\ &= (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 2 - 1) = {} \\ &= (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = {} \\ &= 2k^4 + 4k^3 + k^2 + 4k^3 + 8k^2 + 2k + 2k^2 + 4k + 1 = {} \\ &= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1. \end{aligned}\] Обе части равны \(2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1\), значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
По методу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)\) доказано для любого натурального \(n\).
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1).\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равенства состоит из одного слагаемого \(1^3 = 1\). Найдём значение правой части: \(1^2 \cdot (2 \cdot 1^2 - 1) = 1\). Значит, при \(n = 1\) равенство верно.
2) Предположим, что равенство верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \[1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1).\] При \(n = k + 1\) слева добавляется слагаемое \((2(k + 1) - 1)^3 = (2k + 1)^3\). Докажем, что \[\begin{aligned} &1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2k - 1)^3 + (2k + 1)^3 = {} \\ &= (k + 1)^2(2(k + 1)^2 - 1). \end{aligned}\] Так как \((2k + 1)^3 = (2k + 1)^2(2k + 1) = (4k^2 + 4k + 1)(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1\), а по предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k^2(2k^2 - 1)\), левая часть равна \[\begin{aligned} &k^2(2k^2 - 1) + (2k + 1)^3 = {} \\ &= 2k^4 - k^2 + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = {} \\ &= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1. \end{aligned}\] Правая часть равна \[\begin{aligned} &(k + 1)^2(2(k + 1)^2 - 1) = {} \\ &= (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 2 - 1) = {} \\ &= (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = {} \\ &= 2k^4 + 4k^3 + k^2 + 4k^3 + 8k^2 + 2k + 2k^2 + 4k + 1 = {} \\ &= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1. \end{aligned}\] Левая и правая части равны одному и тому же многочлену \(2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1\), значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)\) доказано для любого натурального \(n\).
