Страница 131 номер 576, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 \ldots + (3n - 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1).\]
В условии перед многоточием пропущен знак «+»: левая часть — сумма \(2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3n - 1)(3n + 2)\).
1) При \(n = 1\) слева одно слагаемое \((3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10\), справа \(1 \cdot (3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 10\) — равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное): \[2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3k - 1)(3k + 2) = k(3k^2 + 6k + 1).\] При \(n = k + 1\) слева добавляется слагаемое \((3(k + 1) - 1)(3(k + 1) + 2) = (3k + 2)(3k + 5)\). Докажем, что \[\begin{aligned} &2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3k - 1)(3k + 2) + (3k + 2)(3k + 5) = {} \\ &= (k + 1)(3(k + 1)^2 + 6(k + 1) + 1). \end{aligned}\] По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k(3k^2 + 6k + 1)\), поэтому левая часть равна \[\begin{aligned} &k(3k^2 + 6k + 1) + (3k + 2)(3k + 5) = {} \\ &= 3k^3 + 6k^2 + k + 9k^2 + 21k + 10 = {} \\ &= 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10. \end{aligned}\] Правая часть равна \[\begin{aligned} &(k + 1)(3(k + 1)^2 + 6(k + 1) + 1) = {} \\ &= (k + 1)(3k^2 + 6k + 3 + 6k + 6 + 1) = {} \\ &= (k + 1)(3k^2 + 12k + 10) = {} \\ &= 3k^3 + 12k^2 + 10k + 3k^2 + 12k + 10 = {} \\ &= 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10. \end{aligned}\] Обе части равны \(3k^3 + 15k^2 + 22k + 10\), значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
По методу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3n - 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)\) доказано для любого натурального \(n\).
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 \ldots + (3n - 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1).\]
В условии перед многоточием пропущен знак «+»: левая часть — сумма \(2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3n - 1)(3n + 2)\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равенства состоит из одного слагаемого \((3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10\). Найдём значение правой части: \(1 \cdot (3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 10\). Значит, при \(n = 1\) равенство верно.
2) Предположим, что равенство верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \[2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3k - 1)(3k + 2) = k(3k^2 + 6k + 1).\] При \(n = k + 1\) слева добавляется слагаемое \((3(k + 1) - 1)(3(k + 1) + 2) = (3k + 2)(3k + 5)\). Докажем, что \[\begin{aligned} &2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3k - 1)(3k + 2) + (3k + 2)(3k + 5) = {} \\ &= (k + 1)(3(k + 1)^2 + 6(k + 1) + 1). \end{aligned}\] По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k(3k^2 + 6k + 1)\), поэтому левая часть равна \[\begin{aligned} &k(3k^2 + 6k + 1) + (3k + 2)(3k + 5) = {} \\ &= 3k^3 + 6k^2 + k + 9k^2 + 21k + 10 = {} \\ &= 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10. \end{aligned}\] Правая часть равна \[\begin{aligned} &(k + 1)(3(k + 1)^2 + 6(k + 1) + 1) = {} \\ &= (k + 1)(3k^2 + 6k + 3 + 6k + 6 + 1) = {} \\ &= (k + 1)(3k^2 + 12k + 10) = {} \\ &= 3k^3 + 12k^2 + 10k + 3k^2 + 12k + 10 = {} \\ &= 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10. \end{aligned}\] Левая и правая части равны одному и тому же многочлену \(3k^3 + 15k^2 + 22k + 10\), значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + (3n - 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)\) доказано для любого натурального \(n\).
