Страница 131 номер 575, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(2^{2n + 1} + 1\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(2^{2n + 1} + 1 = 2^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 2^3 + 1 = 9\) — делится на 3, утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(2^{2k + 1} + 1\) делится на 3. При \(n = k + 1\) показатель степени равен \(2(k + 1) + 1 = (2k + 1) + 2\), поэтому \[\begin{aligned} &2^{2(k + 1) + 1} + 1 = 2^2 \cdot 2^{2k + 1} + 1 = {} \\ &= (3 + 1) \cdot 2^{2k + 1} + 1 = 3 \cdot 2^{2k + 1} + (2^{2k + 1} + 1). \end{aligned}\] Слагаемые \(3 \cdot 2^{2k + 1}\) и \(2^{2k + 1} + 1\) (по предположению) делятся на 3, значит, их сумма \(2^{2(k + 1) + 1} + 1\) делится на 3 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(2^{2n + 1} + 1\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(2^{2n + 1} + 1\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(2^{2n + 1} + 1\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(2^{2n + 1} + 1 = 2^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 2^3 + 1 = 9\). Число 9 делится на 3, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(2^{2k + 1} + 1\) делится на 3. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\). Показатель степени при этом равен \(2(k + 1) + 1 = (2k + 1) + 2\), поэтому \[\begin{aligned} &2^{2(k + 1) + 1} + 1 = 2^2 \cdot 2^{2k + 1} + 1 = {} \\ &= (3 + 1) \cdot 2^{2k + 1} + 1 = 3 \cdot 2^{2k + 1} + (2^{2k + 1} + 1). \end{aligned}\] Слагаемое \(3 \cdot 2^{2k + 1}\) делится на 3, а слагаемое \(2^{2k + 1} + 1\) делится на 3 по предположению. Следовательно, их сумма \(2^{2(k + 1) + 1} + 1\) делится на 3, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(2^{2n + 1} + 1\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(2^{2n + 1} + 1\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).
