Страница 131 номер 574, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(7^n - 1\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(7^n - 1 = 7^1 - 1 = 6\) — делится на 6, утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(7^k - 1\) делится на 6. При \(n = k + 1\): \[\begin{aligned} &7^{k+1} - 1 = 7 \cdot 7^k - 1 = {} \\ &= (6 + 1) \cdot 7^k - 1 = 6 \cdot 7^k + (7^k - 1). \end{aligned}\] Слагаемые \(6 \cdot 7^k\) и \(7^k - 1\) (по предположению) делятся на 6, значит, их сумма \(7^{k+1} - 1\) делится на 6 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(7^n - 1\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(7^n - 1\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(7^n - 1\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(7^n - 1 = 7^1 - 1 = 6\). Число 6 делится на 6, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(7^k - 1\) делится на 6. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\): \[\begin{aligned} &7^{k+1} - 1 = 7 \cdot 7^k - 1 = {} \\ &= (6 + 1) \cdot 7^k - 1 = 6 \cdot 7^k + (7^k - 1). \end{aligned}\] Слагаемое \(6 \cdot 7^k\) делится на 6, а слагаемое \(7^k - 1\) делится на 6 по предположению. Следовательно, их сумма \(7^{k+1} - 1\) делится на 6, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(7^n - 1\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(7^n - 1\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).
