Страница 131 номер 573, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что для любого натурального \(n \ge 2\) выполняется равенство \[\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n + 1}{2n}.\]
Равенство доказываем при \(n \geqslant 2\), поэтому начальное значение — \(n = 2\).
1) При \(n = 2\) последний множитель \(1 - \frac{1}{n^2}\) и есть \(1 - \frac{1}{4}\), поэтому слева один множитель \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), справа \(\frac{2 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}\) — равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное, \(k \geqslant 2\)): \[\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{k + 1}{2k}.\] При \(n = k + 1\) слева добавляется множитель \(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}\), справа — \(\frac{(k + 1) + 1}{2(k + 1)} = \frac{k + 2}{2(k + 1)}\). Докажем, что \[\left(1 - \frac{1}{4}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)\left(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}\right) = \frac{k + 2}{2(k + 1)}.\] Преобразуем добавленный множитель: \[1 - \frac{1}{(k + 1)^2} = \frac{(k + 1)^2 - 1}{(k + 1)^2} = \frac{k^2 + 2k}{(k + 1)^2} = \frac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}.\] По предположению произведение множителей от \(1 - \frac{1}{4}\) до \(1 - \frac{1}{k^2}\) равно \(\frac{k + 1}{2k}\), поэтому, сократив дробь на \(k(k + 1)\), получим: \[\begin{aligned} &\left(1 - \frac{1}{4}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)\left(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}\right) = {} \\ &= \frac{k + 1}{2k} \cdot \frac{k(k + 2)}{(k + 1)^2} = \frac{k + 2}{2(k + 1)}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
По методу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
Ответ: равенство доказано: произведение \(\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)\) равно \(\frac{n + 1}{2n}\) при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
Докажите, что для любого натурального \(n \ge 2\) выполняется равенство \[\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n + 1}{2n}.\]
Применим метод математической индукции. Равенство нужно доказать при всех натуральных \(n \geqslant 2\), поэтому начальное значение — \(n = 2\).
1) При \(n = 2\) левая часть равенства — один множитель \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) (при \(n = 2\) последний множитель \(1 - \frac{1}{n^2}\) и есть \(1 - \frac{1}{4}\)). Правая часть равна \(\frac{2 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}\). Значит, при \(n = 2\) утверждение верно.
2) Предположим, что равенство верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, не меньшее 2, то есть \[\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{k + 1}{2k}.\] При \(n = k + 1\) слева добавляется множитель \(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}\), а правая часть равна \(\frac{(k + 1) + 1}{2(k + 1)} = \frac{k + 2}{2(k + 1)}\). Докажем, что \[\left(1 - \frac{1}{4}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)\left(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}\right) = \frac{k + 2}{2(k + 1)}.\] Преобразуем добавленный множитель: \[1 - \frac{1}{(k + 1)^2} = \frac{(k + 1)^2 - 1}{(k + 1)^2} = \frac{k^2 + 2k}{(k + 1)^2} = \frac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}.\] По предположению произведение множителей от \(1 - \frac{1}{4}\) до \(1 - \frac{1}{k^2}\) равно \(\frac{k + 1}{2k}\), поэтому, сократив дробь на \(k(k + 1)\), получим: \[\begin{aligned} &\left(1 - \frac{1}{4}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)\left(1 - \frac{1}{(k + 1)^2}\right) = {} \\ &= \frac{k + 1}{2k} \cdot \frac{k(k + 2)}{(k + 1)^2} = \frac{k + 2}{2(k + 1)}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции (начальное значение \(n = 2\)), значит, равенство верно при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
Ответ: равенство доказано: произведение \(\left(1 - \frac{1}{4}\right)\left(1 - \frac{1}{9}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)\) равно \(\frac{n + 1}{2n}\) при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
