Страница 131 номер 572, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[5 + 9 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + \ldots + (4n + 1)5^{n - 1} = n \cdot 5^n.\]
1) При \(n = 1\) слева одно слагаемое \((4 \cdot 1 + 1) \cdot 5^{1 - 1} = 5 \cdot 1 = 5\), справа \(1 \cdot 5^1 = 5\) — равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное): \[5 + 9 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + \ldots + (4k + 1) \cdot 5^{k - 1} = k \cdot 5^k.\] При \(n = k + 1\) слева добавляется слагаемое \((4(k + 1) + 1) \cdot 5^{(k + 1) - 1} = (4k + 5) \cdot 5^k\), справа — \((k + 1) \cdot 5^{k + 1}\). Докажем, что \[\begin{aligned} &5 + 9 \cdot 5 + \ldots + (4k + 1) \cdot 5^{k - 1} + (4k + 5) \cdot 5^k = {} \\ &= (k + 1) \cdot 5^{k + 1}. \end{aligned}\] По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k \cdot 5^k\), поэтому левая часть равна \[\begin{aligned} &k \cdot 5^k + (4k + 5) \cdot 5^k = 5^k(k + 4k + 5) = {} \\ &= 5^k(5k + 5) = 5^k \cdot 5(k + 1) = (k + 1) \cdot 5^{k + 1}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
По методу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(5 + 9 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + \ldots + (4n + 1) \cdot 5^{n - 1} = n \cdot 5^n\) доказано для любого натурального \(n\).
Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \[5 + 9 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + \ldots + (4n + 1)5^{n - 1} = n \cdot 5^n.\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равенства состоит из одного слагаемого \((4 \cdot 1 + 1) \cdot 5^{1 - 1} = 5 \cdot 1 = 5\), а правая часть равна \(1 \cdot 5^1 = 5\). Значит, при \(n = 1\) равенство верно.
2) Предположим, что равенство верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \[5 + 9 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + \ldots + (4k + 1) \cdot 5^{k - 1} = k \cdot 5^k.\] При \(n = k + 1\) слева добавляется слагаемое \((4(k + 1) + 1) \cdot 5^{(k + 1) - 1} = (4k + 5) \cdot 5^k\), а правая часть равна \((k + 1) \cdot 5^{k + 1}\). Докажем, что \[\begin{aligned} &5 + 9 \cdot 5 + \ldots + (4k + 1) \cdot 5^{k - 1} + (4k + 5) \cdot 5^k = {} \\ &= (k + 1) \cdot 5^{k + 1}. \end{aligned}\] По предположению сумма первых \(k\) слагаемых равна \(k \cdot 5^k\), поэтому левая часть равна \[\begin{aligned} &k \cdot 5^k + (4k + 5) \cdot 5^k = 5^k(k + 4k + 5) = {} \\ &= 5^k(5k + 5) = 5^k \cdot 5(k + 1) = (k + 1) \cdot 5^{k + 1}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: равенство \(5 + 9 \cdot 5 + 13 \cdot 5^2 + \ldots + (4n + 1) \cdot 5^{n - 1} = n \cdot 5^n\) доказано для любого натурального \(n\).
