Страница 131 номер 571, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что сумма первых \(n\) членов последовательности \(a_n = 3n - 2\) равна \[\frac{n(3n - 1)}{2}.\]
Члены последовательности: \(a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1\), \(a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4\), \(a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 7\), …, \(a_n = 3n - 2\). Нужно доказать, что при любом натуральном \(n\) \[1 + 4 + 7 + \ldots + (3n - 2) = \frac{n(3n - 1)}{2}.\]
1) При \(n = 1\) слева один член \(a_1 = 1\), справа \(\frac{1 \cdot (3 \cdot 1 - 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\) — равенство верно.
2) Пусть равенство верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное): \[1 + 4 + 7 + \ldots + (3k - 2) = \frac{k(3k - 1)}{2}.\] При \(n = k + 1\) слева добавляется член \(a_{k+1} = 3(k + 1) - 2 = 3k + 1\), справа — \(\frac{(k + 1)(3(k + 1) - 1)}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2}\). Докажем, что \[1 + 4 + 7 + \ldots + (3k - 2) + (3k + 1) = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2}.\] По предположению сумма первых \(k\) членов равна \(\frac{k(3k - 1)}{2}\), поэтому \[\begin{aligned} &1 + 4 + 7 + \ldots + (3k - 2) + (3k + 1) = {} \\ &= \frac{k(3k - 1)}{2} + 3k + 1 = \frac{3k^2 - k + 6k + 2}{2} = {} \\ &= \frac{3k^2 + 5k + 2}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2}. \end{aligned}\] Разложение верно: \((k + 1)(3k + 2) = 3k^2 + 5k + 2\). Значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
По методу математической индукции равенство верно при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: сумма первых \(n\) членов последовательности \(a_n = 3n - 2\) равна \(\frac{n(3n - 1)}{2}\).
Докажите, что сумма первых \(n\) членов последовательности \(a_n = 3n - 2\) равна \[\frac{n(3n - 1)}{2}.\]
Члены последовательности: \(a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1\), \(a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4\), \(a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 7\), …, \(a_n = 3n - 2\). Нужно доказать, что при любом натуральном \(n\) \[1 + 4 + 7 + \ldots + (3n - 2) = \frac{n(3n - 1)}{2}.\] Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть равенства — один член \(a_1 = 1\). Найдём значение правой части: \(\frac{1 \cdot (3 \cdot 1 - 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\). Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Предположим, что равенство верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \[1 + 4 + 7 + \ldots + (3k - 2) = \frac{k(3k - 1)}{2}.\] При \(n = k + 1\) слева добавляется член \(a_{k+1} = 3(k + 1) - 2 = 3k + 1\), а правая часть равна \(\frac{(k + 1)(3(k + 1) - 1)}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2}\). Докажем, что \[1 + 4 + 7 + \ldots + (3k - 2) + (3k + 1) = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2}.\] По предположению сумма первых \(k\) членов равна \(\frac{k(3k - 1)}{2}\), поэтому \[\begin{aligned} &1 + 4 + 7 + \ldots + (3k - 2) + (3k + 1) = {} \\ &= \frac{k(3k - 1)}{2} + 3k + 1 = \frac{3k^2 - k + 6k + 2}{2} = {} \\ &= \frac{3k^2 + 5k + 2}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2}. \end{aligned}\] Разложение проверяется раскрытием скобок: \((k + 1)(3k + 2) = 3k^2 + 5k + 2\). Значит, при \(n = k + 1\) равенство тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, при любом натуральном \(n\) сумма первых \(n\) членов последовательности \(a_n = 3n - 2\) равна \(\frac{n(3n - 1)}{2}\).
Ответ: утверждение доказано: сумма первых \(n\) членов последовательности \(a_n = 3n - 2\) равна \(\frac{n(3n - 1)}{2}\).
