Страница 131 номер 570, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(13^n + 5\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(13^n + 5 = 13^1 + 5 = 18\) — кратно 6 (\(18 = 6 \cdot 3\)), утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(13^k + 5\) кратно 6. При \(n = k + 1\): \[\begin{aligned} &13^{k+1} + 5 = 13 \cdot 13^k + 5 = {} \\ &= (12 + 1) \cdot 13^k + 5 = 12 \cdot 13^k + (13^k + 5). \end{aligned}\] Слагаемые \(12 \cdot 13^k\) (\(12 = 6 \cdot 2\)) и \(13^k + 5\) (по предположению) кратны 6, значит, их сумма \(13^{k+1} + 5\) кратна 6 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(13^n + 5\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(13^n + 5\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(13^n + 5\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(13^n + 5 = 13^1 + 5 = 18\). Число 18 кратно 6 (\(18 = 6 \cdot 3\)), значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(13^k + 5\) кратно 6. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\): \[\begin{aligned} &13^{k+1} + 5 = 13 \cdot 13^k + 5 = {} \\ &= (12 + 1) \cdot 13^k + 5 = 12 \cdot 13^k + (13^k + 5). \end{aligned}\] Слагаемое \(12 \cdot 13^k\) кратно 6, так как \(12 = 6 \cdot 2\), а слагаемое \(13^k + 5\) кратно 6 по предположению. Следовательно, их сумма \(13^{k+1} + 5\) кратна 6, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(13^n + 5\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(13^n + 5\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
