Страница 131 номер 569, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(n^3 + 3n^2 + 8n\) кратно 3 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(n^3 + 3n^2 + 8n = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = 12\) — кратно 3 (\(12 = 3 \cdot 4\)), утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(k^3 + 3k^2 + 8k\) кратно 3. При \(n = k + 1\), так как \((k + 1)^3 = (k + 1)^2(k + 1) = (k^2 + 2k + 1)(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1\), получаем: \[\begin{aligned} &(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 8(k + 1) = {} \\ &= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 8k + 8 = {} \\ &= (k^3 + 3k^2 + 8k) + 3k^2 + 9k + 12 = {} \\ &= (k^3 + 3k^2 + 8k) + 3(k^2 + 3k + 4). \end{aligned}\] Слагаемые \(k^3 + 3k^2 + 8k\) (по предположению) и \(3(k^2 + 3k + 4)\) (множитель 3) кратны 3, значит, их сумма \((k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 8(k + 1)\) кратна 3 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(n^3 + 3n^2 + 8n\) кратно 3 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(n^3 + 3n^2 + 8n\) кратно 3 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(n^3 + 3n^2 + 8n\) кратно 3 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(n^3 + 3n^2 + 8n = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = 12\). Число 12 кратно 3 (\(12 = 3 \cdot 4\)), значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(k^3 + 3k^2 + 8k\) кратно 3. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\). Так как \((k + 1)^3 = (k + 1)^2(k + 1) = (k^2 + 2k + 1)(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1\) и \((k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1\), получаем: \[\begin{aligned} &(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 8(k + 1) = {} \\ &= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 8k + 8 = {} \\ &= (k^3 + 3k^2 + 8k) + 3k^2 + 9k + 12 = {} \\ &= (k^3 + 3k^2 + 8k) + 3(k^2 + 3k + 4). \end{aligned}\] Слагаемое \(k^3 + 3k^2 + 8k\) кратно 3 по предположению, а слагаемое \(3(k^2 + 3k + 4)\) кратно 3, так как содержит множитель 3. Следовательно, их сумма \((k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 8(k + 1)\) кратна 3, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(n^3 + 3n^2 + 8n\) кратно 3 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(n^3 + 3n^2 + 8n\) кратно 3 при любом натуральном \(n\).
