Страница 131 номер 568, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 0\) и \(a_{n + 1} = a_n + n^2\). Докажите, что формула общего члена этой последовательности имеет вид \[a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}.\]
1) При \(n = 1\) формула даёт \(\frac{(1 - 1) \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)}{6} = 0\), и \(a_1 = 0\) по условию — утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(a_k = \frac{(k - 1)k(2k - 1)}{6}\). При \(n = k + 1\) множители \(n - 1\) и \(2n - 1\) равны \(k\) и \(2k + 1\), поэтому нужно доказать, что \(a_{k+1} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\).
По условию \(a_{k+1} = a_k + k^2\). Подставим выражение для \(a_k\) из предположения: \[\begin{aligned} &a_{k+1} = a_k + k^2 = \frac{(k - 1)k(2k - 1)}{6} + k^2 = {} \\ &= \frac{(k - 1)k(2k - 1) + 6k^2}{6} = \frac{k(2k^2 - 3k + 1 + 6k)}{6} = {} \\ &= \frac{k(2k^2 + 3k + 1)}{6} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}. \end{aligned}\] Разложение верно: \((k + 1)(2k + 1) = 2k^2 + 3k + 1\). Значит, при \(n = k + 1\) утверждение тоже верно.
По методу математической индукции \(a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: формула \(a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}\) доказана.
Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 0\) и \(a_{n + 1} = a_n + n^2\). Докажите, что формула общего члена этой последовательности имеет вид \[a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}.\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) формула даёт \(\frac{(1 - 1) \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)}{6} = 0\), и по условию \(a_1 = 0\). Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(a_k = \frac{(k - 1)k(2k - 1)}{6}\). Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\). При \(n = k + 1\) множители \(n - 1\) и \(2n - 1\) равны \(k\) и \(2k + 1\), поэтому нужно доказать, что \(a_{k+1} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\).
По условию \(a_{k+1} = a_k + k^2\). Подставим вместо \(a_k\) выражение из предположения: \[\begin{aligned} &a_{k+1} = a_k + k^2 = \frac{(k - 1)k(2k - 1)}{6} + k^2 = {} \\ &= \frac{(k - 1)k(2k - 1) + 6k^2}{6} = \frac{k(2k^2 - 3k + 1 + 6k)}{6} = {} \\ &= \frac{k(2k^2 + 3k + 1)}{6} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}. \end{aligned}\] Разложение проверяется раскрытием скобок: \((k + 1)(2k + 1) = 2k^2 + 3k + 1\). Значит, при \(n = k + 1\) утверждение тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: формула \(a_n = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}\) доказана.
