Страница 131 номер 567, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(2^n > n\) при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(2^1 = 2 > 1\) — утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(2^k > k\). Докажем, что \(2^{k+1} > k + 1\).
Умножим обе части неравенства \(2^k > k\) на положительное число 2: \(2^{k+1} > 2k\). Так как \(k \geqslant 1\), то \(2k = k + k \geqslant k + 1\). Значит, \(2^{k+1} > 2k \geqslant k + 1\) — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(2^n > n\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(2^n > n\) при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(2^n > n\) при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) левая часть неравенства равна \(2^1 = 2\), а правая часть равна 1. Так как \(2 > 1\), при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Предположим, что утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(2^k > k\). Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\), то есть \(2^{k+1} > k + 1\).
Умножим обе части неравенства \(2^k > k\) на положительное число 2: \(2^{k+1} > 2k\). Так как \(k \geqslant 1\), то \(2k = k + k \geqslant k + 1\). Значит, \(2^{k+1} > 2k \geqslant k + 1\), то есть \(2^{k+1} > k + 1\) — при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(2^n > n\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(2^n > n\) при любом натуральном \(n\).
