Страница 131 номер 566, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(15^n + 6\) кратно 7 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(15^n + 6 = 15^1 + 6 = 21\) — кратно 7 (\(21 = 7 \cdot 3\)), утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(15^k + 6\) кратно 7. При \(n = k + 1\): \[\begin{aligned} &15^{k+1} + 6 = 15 \cdot 15^k + 6 = {} \\ &= (14 + 1) \cdot 15^k + 6 = 14 \cdot 15^k + (15^k + 6). \end{aligned}\] Слагаемые \(14 \cdot 15^k\) (\(14 = 7 \cdot 2\)) и \(15^k + 6\) (по предположению) кратны 7, значит, их сумма \(15^{k+1} + 6\) кратна 7 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(15^n + 6\) кратно 7 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(15^n + 6\) кратно 7 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(15^n + 6\) кратно 7 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(15^n + 6 = 15^1 + 6 = 21\). Число 21 кратно 7 (\(21 = 7 \cdot 3\)), значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(15^k + 6\) кратно 7. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\): \[\begin{aligned} &15^{k+1} + 6 = 15 \cdot 15^k + 6 = {} \\ &= (14 + 1) \cdot 15^k + 6 = 14 \cdot 15^k + (15^k + 6). \end{aligned}\] Слагаемое \(14 \cdot 15^k\) кратно 7, так как \(14 = 7 \cdot 2\), а слагаемое \(15^k + 6\) кратно 7 по предположению. Следовательно, их сумма \(15^{k+1} + 6\) кратна 7, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(15^n + 6\) кратно 7 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(15^n + 6\) кратно 7 при любом натуральном \(n\).
