Страница 131 номер 565, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите, что \(n^3 + 5n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
1) При \(n = 1\): \(n^3 + 5n = 1^3 + 5 \cdot 1 = 6\) — кратно 6, утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(k^3 + 5k\) кратно 6. При \(n = k + 1\), так как \((k + 1)^3 = (k + 1)^2(k + 1) = (k^2 + 2k + 1)(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1\), получаем: \[\begin{aligned} &(k + 1)^3 + 5(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 = {} \\ &= (k^3 + 5k) + 3k^2 + 3k + 6 = {} \\ &= (k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6. \end{aligned}\] Слагаемые \(k^3 + 5k\) (по предположению) и 6 кратны 6. Из чисел \(k\) и \(k + 1\) одно чётное, поэтому \(k(k + 1) = 2m\), где \(m\) — натуральное, и \(3k(k + 1) = 6m\) тоже кратно 6. Значит, сумма \((k + 1)^3 + 5(k + 1)\) кратна 6 — утверждение верно при \(n = k + 1\).
По методу математической индукции \(n^3 + 5n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(n^3 + 5n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Докажите, что \(n^3 + 5n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) получим: \(n^3 + 5n = 1^3 + 5 \cdot 1 = 6\). Число 6 кратно 6, значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(k^3 + 5k\) кратно 6. Проверим истинность утверждения при \(n = k + 1\). Так как \((k + 1)^3 = (k + 1)^2(k + 1) = (k^2 + 2k + 1)(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1\), получаем: \[\begin{aligned} &(k + 1)^3 + 5(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5 = {} \\ &= (k^3 + 5k) + 3k^2 + 3k + 6 = {} \\ &= (k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6. \end{aligned}\] Слагаемое \(k^3 + 5k\) кратно 6 по предположению, слагаемое 6 кратно 6. Из двух последовательных натуральных чисел \(k\) и \(k + 1\) одно чётное, поэтому произведение \(k(k + 1)\) — чётное число: \(k(k + 1) = 2m\), где \(m\) — натуральное число. Тогда \(3k(k + 1) = 6m\), то есть и это слагаемое кратно 6. Каждое слагаемое кратно 6, следовательно, их сумма \((k + 1)^3 + 5(k + 1)\) кратна 6, то есть при \(n = k + 1\) утверждение верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(n^3 + 5n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
Ответ: утверждение доказано: \(n^3 + 5n\) кратно 6 при любом натуральном \(n\).
