Страница 131 номер 564, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 0\) и \(a_{n + 1} = a_n + n\). Докажите, что формула общего члена этой последовательности имеет вид \[a_n = \frac{(n - 1)n}{2}.\]
1) При \(n = 1\) формула даёт \(\frac{(1 - 1) \cdot 1}{2} = 0\), и \(a_1 = 0\) по условию — утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\) (\(k\) — натуральное), то есть \(a_k = \frac{(k - 1)k}{2}\). Докажем, что \(a_{k+1} = \frac{((k + 1) - 1)(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1)}{2}\).
По условию \(a_{k+1} = a_k + k\). Подставим выражение для \(a_k\) из предположения: \[\begin{aligned} &a_{k+1} = a_k + k = \frac{(k - 1)k}{2} + k = {} \\ &= \frac{(k - 1)k + 2k}{2} = \frac{k(k - 1 + 2)}{2} = \frac{k(k + 1)}{2}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) утверждение тоже верно.
По методу математической индукции \(a_n = \frac{(n - 1)n}{2}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: формула \(a_n = \frac{(n - 1)n}{2}\) доказана.
Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 0\) и \(a_{n + 1} = a_n + n\). Докажите, что формула общего члена этой последовательности имеет вид \[a_n = \frac{(n - 1)n}{2}.\]
Применим метод математической индукции.
1) При \(n = 1\) формула даёт \(\frac{(1 - 1) \cdot 1}{2} = 0\), и по условию \(a_1 = 0\). Значит, при \(n = 1\) утверждение верно.
2) Пусть утверждение верно при \(n = k\), где \(k\) — произвольное натуральное число, то есть \(a_k = \frac{(k - 1)k}{2}\). Докажем, что тогда оно верно и при \(n = k + 1\), то есть \(a_{k+1} = \frac{((k + 1) - 1)(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1)}{2}\).
По условию \(a_{k+1} = a_k + k\). Подставим вместо \(a_k\) выражение из предположения: \[\begin{aligned} &a_{k+1} = a_k + k = \frac{(k - 1)k}{2} + k = {} \\ &= \frac{(k - 1)k + 2k}{2} = \frac{k(k - 1 + 2)}{2} = \frac{k(k + 1)}{2}. \end{aligned}\] Значит, при \(n = k + 1\) утверждение тоже верно.
Таким образом, выполнены оба условия метода математической индукции, значит, \(a_n = \frac{(n - 1)n}{2}\) при любом натуральном \(n\).
Ответ: формула \(a_n = \frac{(n - 1)n}{2}\) доказана.
