Страница 128 номер 561, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(8x - x^2 > 0\); б) \(x^2 - 25 > 0\); в) \((x + 1)(x - 9) > 0\).
а) При умножении на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 8x - x^2 &> 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 8x &< 0; \\ x(x - 8) &< 0. \end{aligned}\] Произведение обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 8\). При \(x > 8\) оба множителя \(x\) и \(x - 8\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((0; 8)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа 0 и 8 в решение не входят: множество решений — \((0; 8)\).
б) \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\), и неравенство примет вид \((x - 5)(x + 5) > 0\). Произведение обращается в нуль при \(x = -5\) и при \(x = 5\). При \(x > 5\) оба множителя \(x - 5\) и \(x + 5\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-5; 5)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-5\) и 5 в решение не входят: множество решений — \((-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\).
в) Произведение обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = 9\). При \(x > 9\) оба множителя \(x + 1\) и \(x - 9\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 9)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-1\) и 9 в решение не входят: множество решений — \((-\infty; -1) \cup (9; +\infty)\).
Ответ: а) \((0; 8)\); б) \((-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\); в) \((-\infty; -1) \cup (9; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(8x - x^2 > 0\); б) \(x^2 - 25 > 0\); в) \((x + 1)(x - 9) > 0\).
а) Умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный, и вынесем \(x\) за скобки: \[\begin{aligned} 8x - x^2 &> 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 8x &< 0; \\ x(x - 8) &< 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 8\). При \(x > 8\) оба множителя \(x\) и \(x - 8\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((0; 8)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа 0 и 8 в решение не входят: множество решений — \((0; 8)\).
б) Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\), и неравенство примет вид \((x - 5)(x + 5) > 0\). Решим его методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -5\) и при \(x = 5\). При \(x > 5\) оба множителя \(x - 5\) и \(x + 5\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-5; 5)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -5)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа \(-5\) и 5 в решение не входят: множество решений — \((-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\).
в) Решим неравенство методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = 9\). При \(x > 9\) оба множителя \(x + 1\) и \(x - 9\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-1; 9)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа \(-1\) и 9 в решение не входят: множество решений — \((-\infty; -1) \cup (9; +\infty)\).
Ответ: а) \((0; 8)\); б) \((-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\); в) \((-\infty; -1) \cup (9; +\infty)\).
