Страница 128 номер 560, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение: а) \(\frac{4}{x^6} + \frac{5}{x^9}\); б) \(\frac{2p}{4q - p} + \frac{8q}{p - 4q}\); в) \(\frac{1}{(x - 8)(x - 6)} - \frac{1}{(x - 6)(x - 1)}\); г) \(\frac{7x - 2}{x - 1} + x^2 - 2x + 3\).
а) \[\frac{4}{x^6} + \frac{5}{x^9} = \frac{4x^3}{x^9} + \frac{5}{x^9} = \frac{4x^3 + 5}{x^9}.\]
б) \(4q - p = -(p - 4q)\). Выражение имеет смысл только при \(p \neq 4q\), поэтому дробь можно сократить на \(p - 4q\): \[\begin{aligned} &\frac{2p}{4q - p} + \frac{8q}{p - 4q} = -\frac{2p}{p - 4q} + \frac{8q}{p - 4q} = {} \\ &= \frac{8q - 2p}{p - 4q} = \frac{-2(p - 4q)}{p - 4q} = -2. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &\frac{1}{(x - 8)(x - 6)} - \frac{1}{(x - 6)(x - 1)} = \frac{x - 1 - (x - 8)}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)} = {} \\ &= \frac{x - 1 - x + 8}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)} = \frac{7}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)}. \end{aligned}\]
г) \((x^2 - 2x + 3)(x - 1) = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 3x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3\), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{7x - 2}{x - 1} + x^2 - 2x + 3 = \frac{7x - 2 + (x^2 - 2x + 3)(x - 1)}{x - 1} = {} \\ &= \frac{7x - 2 + x^3 - 3x^2 + 5x - 3}{x - 1} = \frac{x^3 - 3x^2 + 12x - 5}{x - 1}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{4x^3 + 5}{x^9}\); б) \(-2\); в) \(\frac{7}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)}\); г) \(\frac{x^3 - 3x^2 + 12x - 5}{x - 1}\).
Упростите выражение: а) \(\frac{4}{x^6} + \frac{5}{x^9}\); б) \(\frac{2p}{4q - p} + \frac{8q}{p - 4q}\); в) \(\frac{1}{(x - 8)(x - 6)} - \frac{1}{(x - 6)(x - 1)}\); г) \(\frac{7x - 2}{x - 1} + x^2 - 2x + 3\).
а) Приведём дроби к общему знаменателю \(x^9\) (дополнительный множитель первой дроби — \(x^3\)): \[\frac{4}{x^6} + \frac{5}{x^9} = \frac{4x^3}{x^9} + \frac{5}{x^9} = \frac{4x^3 + 5}{x^9}.\]
б) Знаменатели дробей отличаются только знаком: \(4q - p = -(p - 4q)\), поэтому \(\frac{2p}{4q - p} = -\frac{2p}{p - 4q}\). В числителе суммы вынесем за скобки \(-2\): \(8q - 2p = -2(p - 4q)\); выражение имеет смысл только при \(p \neq 4q\), поэтому дробь можно сократить на \(p - 4q\): \[\begin{aligned} &\frac{2p}{4q - p} + \frac{8q}{p - 4q} = -\frac{2p}{p - 4q} + \frac{8q}{p - 4q} = {} \\ &= \frac{8q - 2p}{p - 4q} = \frac{-2(p - 4q)}{p - 4q} = -2. \end{aligned}\]
в) Общий знаменатель дробей — \((x - 8)(x - 6)(x - 1)\); дополнительный множитель первой дроби — \(x - 1\), второй — \(x - 8\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{(x - 8)(x - 6)} - \frac{1}{(x - 6)(x - 1)} = \frac{x - 1 - (x - 8)}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)} = {} \\ &= \frac{x - 1 - x + 8}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)} = \frac{7}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)}. \end{aligned}\]
г) Представим многочлен \(x^2 - 2x + 3\) в виде дроби со знаменателем \(x - 1\). Произведение в числителе: \((x^2 - 2x + 3)(x - 1) = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 3x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3\). Тогда \[\begin{aligned} &\frac{7x - 2}{x - 1} + x^2 - 2x + 3 = \frac{7x - 2 + (x^2 - 2x + 3)(x - 1)}{x - 1} = {} \\ &= \frac{7x - 2 + x^3 - 3x^2 + 5x - 3}{x - 1} = \frac{x^3 - 3x^2 + 12x - 5}{x - 1}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{4x^3 + 5}{x^9}\); б) \(-2\); в) \(\frac{7}{(x - 8)(x - 6)(x - 1)}\); г) \(\frac{x^3 - 3x^2 + 12x - 5}{x - 1}\).
