Страница 18 номер 56, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на линейные множители: а) \(x^2 - 5x + 4\); б) \(x^2 + 16x + 15\); в) \(16x^2 - 9\); г) \(x^2 + 6x\).
а) Сумма коэффициентов равна \(1 - 5 + 4 = 0\), поэтому \(x_1 = 1\).
По формуле Виета \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\): \(1 \cdot x_2 = 4\), откуда \(x_2 = 4\).
\[x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4).\]
б) \(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 = 14^2\). Тогда \(x_1 = \frac{-16 - 14}{2 \cdot 1} = -15\), \(x_2 = \frac{-16 + 14}{2 \cdot 1} = -1\). \[x^2 + 16x + 15 = (x + 15)(x + 1).\]
в) \[16x^2 - 9 = (4x)^2 - 3^2 = (4x - 3)(4x + 3).\]
г) \[x^2 + 6x = x(x + 6).\]
Ответ: а) \((x - 1)(x - 4)\); б) \((x + 15)(x + 1)\); в) \((4x - 3)(4x + 3)\); г) \(x(x + 6)\).
Разложите многочлен на линейные множители: а) \(x^2 - 5x + 4\); б) \(x^2 + 16x + 15\); в) \(16x^2 - 9\); г) \(x^2 + 6x\).
а) Сумма коэффициентов трёхчлена \(x^2 - 5x + 4\) равна \(1 - 5 + 4 = 0\), поэтому число 1 — его корень: \(x_1 = 1\). Второй корень найдём по формуле Виета \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\): \(1 \cdot x_2 = 4\), откуда \(x_2 = 4\). Следовательно, \[x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4).\]
б) \(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 = 14^2\). Тогда \(x_1 = \frac{-16 - 14}{2 \cdot 1} = -15\), \(x_2 = \frac{-16 + 14}{2 \cdot 1} = -1\). Следовательно, \[x^2 + 16x + 15 = (x + 15)(x + 1).\]
в) Трёхчлен \(16x^2 - 9\) не содержит слагаемого с \(x\) (\(b = 0\)) и является разностью квадратов: \[16x^2 - 9 = (4x)^2 - 3^2 = (4x - 3)(4x + 3).\]
г) Свободный член трёхчлена \(x^2 + 6x\) равен нулю (\(c = 0\)), поэтому вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \[x^2 + 6x = x(x + 6).\]
Ответ: а) \((x - 1)(x - 4)\); б) \((x + 15)(x + 1)\); в) \((4x - 3)(4x + 3)\); г) \(x(x + 6)\).
