Страница 18 номер 55, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какие квадратные трёхчлены можно разложить на линейные множители: 1) \(x^2 - 6x + 9\); 2) \(2x^2 - 5x + 5\); 3) \(-3x^2 + 2x + 10\); 4) \(x^2 + 9x - 10\)?
1) \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\) — трёхчлен имеет один корень \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\) и раскладывается на линейные множители: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\).
2) \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 25 - 40 = -15 < 0\) — трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.
3) \(D = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 10 = 4 + 120 = 124 > 0\) — трёхчлен имеет два корня и раскладывается на линейные множители.
4) \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 > 0\) — трёхчлен имеет два корня и раскладывается на линейные множители.
Ответ: на линейные множители можно разложить трёхчлены 1) \(x^2 - 6x + 9\), 3) \(-3x^2 + 2x + 10\) и 4) \(x^2 + 9x - 10\).
Какие квадратные трёхчлены можно разложить на линейные множители: 1) \(x^2 - 6x + 9\); 2) \(2x^2 - 5x + 5\); 3) \(-3x^2 + 2x + 10\); 4) \(x^2 + 9x - 10\)?
Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители, если его дискриминант положителен (тогда \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни трёхчлена) или равен нулю (тогда \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\), где \(x_0\) — его единственный корень). Если дискриминант отрицателен, трёхчлен нельзя разложить на линейные множители. Вычислим дискриминанты.
1) \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\). Трёхчлен имеет один корень \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\) и раскладывается на линейные множители: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\).
2) \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 25 - 40 = -15 < 0\). Трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.
3) \(D = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 10 = 4 + 120 = 124 > 0\). Трёхчлен имеет два корня и раскладывается на линейные множители.
4) \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 > 0\). Трёхчлен имеет два корня и раскладывается на линейные множители.
Ответ: на линейные множители можно разложить трёхчлены 1) \(x^2 - 6x + 9\), 3) \(-3x^2 + 2x + 10\) и 4) \(x^2 + 9x - 10\).
