Страница 127 номер 553, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Делится ли сумма чисел \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999\) на 1999?
Слагаемые суммы — первые 1999 членов последовательности \(a_n = n\), в которой \(a_{n+1} = n + 1 = a_n + 1\). Значит, \((a_n)\) — арифметическая прогрессия, \(a_1 = 1\), \(d = 1\), \(a_{1999} = 1999\). \[S_{1999} = \frac{a_1 + a_{1999}}{2} \cdot 1999 = \frac{1 + 1999}{2} \cdot 1999 = 1000 \cdot 1999.\] Произведение \(1000 \cdot 1999\) делится на 1999 (частное — натуральное число 1000), значит, сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999\) делится на 1999.
Ответ: да, делится: \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999 = 1999 \cdot 1000\).
Делится ли сумма чисел \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999\) на 1999?
Слагаемые суммы \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999\) — первые 1999 членов последовательности \((a_n)\), в которой \(a_n = n\). Каждый её член, начиная со второго, на 1 больше предыдущего: \(a_{n+1} = n + 1 = a_n + 1\) при любом \(n\). Следовательно, \((a_n)\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 1\) и разностью \(d = 1\), причём \(a_{1999} = 1999\). По формуле суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии \[S_{1999} = \frac{a_1 + a_{1999}}{2} \cdot 1999 = \frac{1 + 1999}{2} \cdot 1999 = 1000 \cdot 1999.\] Произведение \(1000 \cdot 1999\) делится на 1999: частное равно натуральному числу 1000. Значит, сумма \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999\) делится на 1999.
Ответ: да, делится: \(1 + 2 + 3 + \ldots + 1999 = 1999 \cdot 1000\).
