Страница 127 номер 552, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(S_9 = 315\) — число уравнений, решённых за все дни
\(a_1 = 11\) — число уравнений, решённых в первый день
\(n = 9\) — число дней

Найти: \(a_9\) — число уравнений, решённых в последний день.

Решение:

Рассмотрим последовательность \((a_n)\), каждый член которой равен числу уравнений, решённых Рихардом в день с номером \(n\). По условию \(a_1 = 11\), и каждый день, начиная со второго, Рихард решал на одно и то же число уравнений больше, чем в предыдущий день. Следовательно, \((a_n)\) — арифметическая прогрессия. Все 315 уравнений решены за 9 дней, поэтому сумма первых девяти членов прогрессии \(S_9 = 315\).

По формуле суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} \cdot 9\). Получаем уравнение; разделим обе его части на 9, затем умножим на 2: \[\begin{aligned} \frac{11 + a_9}{2} \cdot 9 &= 315; \qquad | : 9 \\ \frac{11 + a_9}{2} &= 35; \qquad | \cdot 2 \\ 11 + a_9 &= 70; \\ a_9 &= 59. \end{aligned}\] Так как \(a_9 = a_1 + 8d\), разность прогрессии \(d = \frac{a_9 - a_1}{8} = \frac{59 - 11}{8} = 6\): каждый день Рихард решал на 6 уравнений больше, чем в предыдущий.

Ответ: 59 уравнений.