Страница 127 номер 554, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(a_1 = 4\) — число мест за одним столиком
\(a_2 = 6\) — число мест за столом из двух столиков
\(a_3 = 8\) — число мест за столом из трёх столиков
\(n = 20\) — число сдвинутых столиков

Найти: \(a_{20}\) — число мест за столом из 20 столиков.

Решение:

Рассмотрим последовательность \((a_n)\), каждый член которой равен числу человек, которые могут сесть за стол из \(n\) квадратных столиков, сдвинутых вдоль одной линии. На рисунке у каждого из трёх столиков одно место со стороны верхнего края стола и одно — со стороны нижнего, и ещё по одному месту есть у левого и у правого торцов стола. Если придвинуть к ряду ещё один столик, место у торца стола не пропадает — оно переходит к торцу нового крайнего столика, а у нового столика добавляются два места: сверху и снизу. Значит, каждый следующий член последовательности на 2 больше предыдущего: \(a_{n+1} = a_n + 2\) при любом \(n\) (так и получается \(a_2 = 4 + 2 = 6\), \(a_3 = 6 + 2 = 8\)). Следовательно, \((a_n)\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 4\) и разностью \(d = 2\). По формуле \(n\)-го члена арифметической прогрессии \[a_{20} = a_1 + 19d = 4 + 19 \cdot 2 = 42.\]

Проверка: за столом из 20 столиков 20 мест вдоль верхнего края, 20 — вдоль нижнего и 2 места у торцов: \(20 + 20 + 2 = 42\).

Ответ: 42 человека.