Страница 127 номер 550, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите десятый член геометрической прогрессии, если известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого её членов равно \(-216\).
\(b_4 = b_1 \cdot q^3\), \(b_6 = b_1 \cdot q^5\), \(b_{20} = b_1 \cdot q^{19}\), \(b_{10} = b_1 \cdot q^9\), поэтому \[\begin{aligned} &b_4 \cdot b_6 \cdot b_{20} = b_1 \cdot q^3 \cdot b_1 \cdot q^5 \cdot b_1 \cdot q^{19} = {} \\ &= b_1^3 \cdot q^{27} = (b_1 \cdot q^9)^3 = b_{10}^3. \end{aligned}\] По условию \(b_{10}^3 = -216\). Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение \(x^3 = -216\) имеет ровно один корень — число \(-6\), так как \((-6)^3 = -216\). Значит, \(b_{10} = -6\).
Ответ: \(b_{10} = -6\).
Найдите десятый член геометрической прогрессии, если известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого её членов равно \(-216\).
Обозначим геометрическую прогрессию через \((b_n)\), её знаменатель — через \(q\). По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(b_4 = b_1 \cdot q^3\), \(b_6 = b_1 \cdot q^5\), \(b_{20} = b_1 \cdot q^{19}\), \(b_{10} = b_1 \cdot q^9\). Тогда \[\begin{aligned} &b_4 \cdot b_6 \cdot b_{20} = b_1 \cdot q^3 \cdot b_1 \cdot q^5 \cdot b_1 \cdot q^{19} = {} \\ &= b_1^3 \cdot q^{27} = (b_1 \cdot q^9)^3 = b_{10}^3. \end{aligned}\] По условию произведение равно \(-216\), значит, \(b_{10}^3 = -216\). Функция \(y = x^3\) возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение \(x^3 = -216\) имеет ровно один корень; так как \((-6)^3 = -216\), этот корень — число \(-6\). Следовательно, \(b_{10} = -6\).
Ответ: \(b_{10} = -6\).
