Страница 127 номер 549, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель \(q\) равен \(-1{,}5\), \(S_4 = 26\). Найдите \(b_1\).
Знаменатель \(q = -1{,}5 = -\frac{3}{2}\) отличен от 1.
\(q^4 = \left(-\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}\).
\[\begin{aligned} &S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{b_1\left(1 - \frac{81}{16}\right)}{1 + \frac{3}{2}} = {} \\ &= -\frac{65}{16}b_1 : \frac{5}{2} = -\frac{65}{16} \cdot \frac{2}{5} \cdot b_1 = -\frac{13}{8}b_1. \end{aligned}\]
По условию \(S_4 = 26\):
\[\begin{aligned} -\frac{13}{8}b_1 &= 26; \qquad | \cdot \left(-\frac{8}{13}\right) \\ b_1 &= -16. \end{aligned}\]
Проверка: \(-16 + 24 - 36 + 54 = 26\) — сумма первых четырёх членов при \(b_1 = -16\) и \(q = -1{,}5\).
Ответ: \(b_1 = -16\).
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель \(q\) равен \(-1{,}5\), \(S_4 = 26\). Найдите \(b_1\).
Знаменатель \(q = -1{,}5 = -\frac{3}{2}\) отличен от 1, поэтому сумму \(S_4\) можно выразить через \(b_1\) по формуле суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии. Так как \(q^4 = \left(-\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}\), то, заменив деление на дробь умножением на обратную ей дробь, получим: \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{b_1\left(1 - \frac{81}{16}\right)}{1 + \frac{3}{2}} = {} \\ &= -\frac{65}{16}b_1 : \frac{5}{2} = -\frac{65}{16} \cdot \frac{2}{5} \cdot b_1 = -\frac{13}{8}b_1. \end{aligned}\] По условию \(S_4 = 26\). Получаем уравнение; умножим обе его части на \(-\frac{8}{13}\): \[\begin{aligned} -\frac{13}{8}b_1 &= 26; \qquad | \cdot \left(-\frac{8}{13}\right) \\ b_1 &= -16. \end{aligned}\]
Проверка: при \(b_1 = -16\) и \(q = -1{,}5\) первые четыре члена прогрессии — \(-16\); \(24\); \(-36\); \(54\), их сумма \(-16 + 24 - 36 + 54 = 26\).
Ответ: \(b_1 = -16\).
