Страница 127 номер 545, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{4}\), \(S_4 = 42{,}5\). Найдите \(b_1\).
Знаменатель \(q = \frac{1}{4} \ne 1\), поэтому \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{b_1\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{4}} = {} \\ &= b_1 \cdot \frac{255}{256} : \frac{3}{4} = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3} = \frac{85}{64} b_1. \end{aligned}\]
По условию \(S_4 = 42{,}5\): \[\begin{aligned} \frac{85}{64} b_1 &= 42{,}5; \qquad | \cdot \frac{64}{85} \\ b_1 &= 42{,}5 \cdot \frac{64}{85} = 0{,}5 \cdot 64 = 32. \end{aligned}\]
Проверка: \(S_4 = 32 + 8 + 2 + 0{,}5 = 42{,}5\).
Ответ: \(b_1 = 32\).
В геометрической прогрессии \((b_n)\) знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{4}\), \(S_4 = 42{,}5\). Найдите \(b_1\).
Знаменатель прогрессии \(q = \frac{1}{4} \ne 1\), поэтому воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\): \[\begin{aligned} &S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{b_1\left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^4\right)}{1 - \frac{1}{4}} = {} \\ &= b_1 \cdot \frac{255}{256} : \frac{3}{4} = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3} = \frac{85}{64} b_1. \end{aligned}\] По условию \(S_4 = 42{,}5\). Получаем уравнение, обе части которого умножим на \(\frac{64}{85}\): \[\begin{aligned} \frac{85}{64} b_1 &= 42{,}5; \qquad | \cdot \frac{64}{85} \\ b_1 &= 42{,}5 \cdot \frac{64}{85} = 0{,}5 \cdot 64 = 32. \end{aligned}\]
Проверка: при \(b_1 = 32\) и \(q = \frac{1}{4}\) получаем \(S_4 = 32 + 8 + 2 + 0{,}5 = 42{,}5\).
Ответ: \(b_1 = 32\).
